Colapso y revival en el modelo de Jaynes Cummings

Es realmente bastante difícil. Esto lo lleva al artículo original de Cummings en Phys. Rev. Lett. 140 en 1965, página A1051: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.140.A1051 . Debe notar primero que si$P_e(t)$se da como escribiste entonces los coeficientes$\frac{e^{-\alpha^2}|\alpha|^{2n}}{{n!}}$multiplicando$\cos()^2$los términos están localizados (picos en los valores) alrededor$n = n_{av} = |\alpha|^2$. Puede obtenerlo de la fórmula de Stirling para grandes$n$($n>10$) por aproximación

$n! \approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

y luego tratando de encontrar el máximo de la función

$\frac{e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}}{{n!}} \approx 1 /\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{e}{n}\right)^n e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}$

con respecto a$n$ya que era la variable continua.

Calculando y poniendo la derivada a cero se obtiene

$e^{-n_{av}} /(2 \sqrt{2 \pi})e^n n_{av}^n n^{-3/2-n}(1 + 2 n_{av} \log n - 2 n \log n) = 0$

y la solución aproximada, despreciando la pequeña$1$en el paréntesis, es

$n=n_{av}$.

De lo que puedes expandir Taylor$g(n+1)^{1/2}$hasta el primer orden alrededor$n_{av}$es decir$g(n+1)^{1/2} \approx g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})$preocuparse solo por los términos que más contribuyen en la suma. Las energías se vuelven lineales en$n$ahora como para el oscilador armónico. Obtiene tanto el tiempo de reactivación como el decaimiento a corto plazo utilizando esta aproximación después de una página de matemática adicional (que no está en el periódico como lo estaba en la Carta). Los revivals son mucho más sencillos ya que ahora todos los cosenos oscilan con el múltiplo de la misma frecuencia$g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}]$y por lo tanto se les ve directamente en refase. El tiempo de reactivación es por lo tanto$2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$mientras obtienes el tiempo de decaimiento$1/g$usando la expansión de tiempo pequeño de los términos de la suma por tiempos cortos para resumirlos en el exponente decreciente real. Paradójicamente, los avivamientos no fueron notados o ignorados por Cummings en su artículo original que deriva$1/g$tasa de colapso incluso si la fórmula aproximada que derivó los incluye y fueron descubiertos más tarde por Eberly en Phys. Rev. lett. 44, 1980, página 1323: http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.44.1323 . Deriva una fórmula compacta complicada para el caso arbitrario de la desafinación distinta de cero que es un comportamiento periódico de largo tiempo de la reactivación completa después del tiempo$2 \pi (n_{av})^{1/2}/g \approx 2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$que se asemeja ligeramente al movimiento oscilatorio del paquete de ondas de partículas libres que se propagan débilmente si uno calcula la superposición de él consigo mismo desde el momento$0$(la función de autocorrelación) y con el período de reactivación mientras que las oscilaciones rápidas son alguna fase.

Para obtener el tiempo de decaimiento: Ahora tenemos:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $\cos^2{[g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})]}$

o

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos{[2 g (n_{av}+1)^{1/2} t + g/[ (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av}) t]}/2+1/2]$

Ahora usamos la fórmula para el$\cos (a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$dos veces y eliminar todos los términos que tienen$\sin (...t) \approx 0$en ella desde que son pequeños y términos con$\cos (...t)$excepto los más oscilantes con$2g$no tener el correr$n$ponemos a$1$por la misma razón. El resultado es:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] \cos{[g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]n t]}/2+1/2]$

Ahora usando la fórmula para$\cos(x)= (e^{ix}+e^{-ix})/2$

la serie se puede resumir fácilmente a partir de la expansión del exponente de la serie

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(nota los términos que contienen el exponente del exponente):

$P_e(t) \approx (1/4)\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-n_{av}} [e^{n_{av}e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]t}}$ $+e^{n_{av}e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t]}}]$+1/2$

El paso más es expandirse de nuevo para pequeños$t$(nos importan solo las partes reales mientras que las imaginarias tienen las pequeñas$\sin (...t)$de nuevo):

$e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

y entonces

$e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

aproximando

$n_{av}+1 \approx n_{av}$obtenemos$P_e(t) \approx (1/2) \cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-g^2 t^2/2}+ 1/2$entonces el tiempo de decaimiento es$1/g$