¿Cuáles son las "consideraciones de paridad" al decidir la forma del hamiltoniano?

En "Introducción a la óptica cuántica", de Gerry y Knight, se considera el modelo de Jeynes. En este modelo de interacción electrón-campo EM, el electrón se aproxima mediante un sistema de dos estados ( | gramo ⟩ y | mi ⟩ ), y la forma del operador dipolar d ^ se dice que está restringido por la consideración de paridad para no tener términos en la diagonal:

Solo los elementos fuera de la diagonal del operador dipolar son distintos de cero, ya que por consideración de paridad ⟨ mi | d ^ | mi ⟩ = 0 = ⟨ gramo | d ^ | gramo ⟩ .

¿Por qué? ¿Qué tiene que ver la paridad con esto?

Respuestas (1)

Esto proviene del origen microscópico del modelo. Por ejemplo, en el caso del átomo de hidrógeno, el operador dipolar viene dado por (hasta algunos signos) d ^ = mi z ^ mi donde he asumido que el campo eléctrico está en la dirección z , y z ^ es el operador de posición del electrón (de carga − mi ).

Ahora echemos un vistazo a los efectos del operador de paridad. Π ^ . Tenemos [ H ^ , Π ^ ] = 0 , lo que significa que los estados propios tales que Π ^ | gramo / mi ⟩ = ± | gramo / mi ⟩ y también tenemos Π ^ z ^ Π ^ = − z ^ . Es así fácil demostrar que ⟨ gramo / mi | z ^ | mi / gramo ⟩ = 0 por simetría, lo que responde a la pregunta.

Microscópicamente, se puede mostrar que la regla de selección de los elementos de la matriz de z ^ entre los estados propios | norte yo metro ⟩ del átomo de hidrógeno son tales que ⟨ norte yo metro | z ^ | norte ′ yo ′ metro ′ ⟩ ∝ d metro , metro ′ d yo , yo ′ ± 1 .

¡Gracias! Ahora entendí que ⟨ gramo | z ^ | gramo ⟩ ya que es el producto escalar de dos estados electrónicos con diferente paridad. Tengo una nueva pregunta ahora (tal vez debería comenzar un nuevo tema): ¿no debería haber un "operador de paridad general" que conmuta con H ^ mi yo + H ^ pag h o t + H ^ i norte t , ya que aun considerando la interacción electromagnética se debe conservar la paridad global.
@Ralph: solo hay un operador de paridad, y conmuta con el hamiltoniano total. Es trivial para la parte de electrones y fotones. Para la parte de interacción, observe que ambos d ^ y mi ^ son vectores y por lo tanto ambos cambian de signo bajo paridad.
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