¿Cuándo funciona la cuantificación 'ingenua' de las restricciones clásicas?

Considere la formulación generalmente covariante de la partícula puntual relativista, donde la configuración se especifica mediante X m ( τ ) , y τ es un parámetro arbitrario. En la imagen hamiltoniana, los momentos canónicos pag m están obligados, obedeciendo

pag 2 + metro 2 = 0.
Esta es una restricción de primera clase que corresponde a una simetría de calibre y no hay restricciones de segunda clase. Luego cuantificamos usando los corchetes de Poisson usuales, produciendo operadores
[ X ^ m , pag ^ v ] = i ℏ d v m .
En notas de conferencias aquí y aquí se afirma que la restricción se impone como una ecuación de operador en los estados físicos
( pag ^ 2 + metro 2 ) | ψ ⟩ = 0.
Esto tiene sentido porque simplemente dice que las funciones de onda obedecen a la ecuación de Klein-Gordan, pero no sé por qué funciona este procedimiento o qué tan general es. Por ejemplo, ciertamente no funciona para QED en calibre Lorenz, porque imponer
∂ m A m | Ψ ⟩ = 0
es demasiado estricto. ¿Alguien puede explicar por qué el método anterior puede imponer restricciones de primera clase? ¿Con qué frecuencia funciona esto y por qué no funciona para QED? (Me imagino que hay mucho que decir aquí, ya que existen muchos métodos de cuantificación muy poderosos, pero espero que haya algo relativamente elemental que pueda aclarar mi confusión).

∂ m A m | Ψ ⟩ = 0 corresponde al método de cuantificación de Gupta-Bleuler para QED, por lo que funciona hasta cierto punto, sí.
@Slereah Pensé que la condición de Gupta-Bleuler era ⟨ Ψ | ∂ m A m | Ψ ′ ⟩ .
Dado que esto es cierto para todos los estados Ψ , Ψ ′ y el producto interno es definido positivo esto implica que ∂ m A m | Ψ ⟩ = 0 .
@Slereah ¡Pero el problema que Gupta-Bleuler está tratando de solucionar en primer lugar es que el producto interno no es definitivo positivo debido a los estados no físicos!
En resumen, una cuantización "ingenua" nunca funciona. Le insto a leer la única autoridad en el tema, el libro de Marc Henneaux, capítulo 13.
@DanielC He leído la primera parte de Henneaux, pero el libro es un poco desalentador. ¡Apreciaría un resumen o una simple descripción general de los temas involucrados!
@Slereah Gupta-Bleuler lee ( ∂ m A m ) + | Ψ ⟩ = 0 , dónde " + " significa tomar la parte de frecuencia positiva.

Respuestas (1)

Esta es básicamente la cuantización de Dirac de sistemas restringidos (a diferencia de la cuantización del espacio de fase reducido). La cuantización de Dirac equivale a:

  1. transformar las restricciones en operadores C → C ^ ,
  2. insiste en que los estados físicos viven en el núcleo de los operadores de restricción H física = ker ⁡ ( C ^ ) .

(Para restricciones múltiples, los estados físicos viven en la intersección de los núcleos H física = ker ⁡ ( C ^ 1 ) ∩ ⋯ ∩ ker ⁡ ( C ^ norte ) , es decir, los estados físicos deben obedecer todas las restricciones.)

La cuantificación del espacio de fase reducido primero restringe el espacio de fase satisfaciendo las restricciones y luego cuantificando. Cuando esto se puede hacer, por lo general es más simple. (Tanto el enfoque de Dirac como el enfoque de espacio de fase reducido producen resultados equivalentes).

No se encontrará con problemas serios siempre que no experimente ninguna de las ambigüedades habituales de ordenación de operadores al cuantificar las restricciones... suponiendo que el análisis de restricciones se haya llevado a cabo en su totalidad (es decir, encontró todas las restricciones, etc.) .

Famosamente, en la relatividad general, la restricción hamiltoniana implica un término cuadrático en momentos, que no se puede cuantificar ingenuamente sin producir un operador matemáticamente no bien definido.

Para obtener más información sobre las restricciones de cuantificación, el único recurso que conozco es Cuantización de sistemas de calibre de Henneaux y Teitelboim .

Pregunta: ¿ Por qué no se hace esto en electromagnetismo?

Respuesta: Puede hacerlo en electromagnetismo, pero debe tener cuidado con las restricciones que implementa. La Teoría del campo cuántico de partículas puntuales y cuerdas de Brian Hatfield analiza la situación EM, contando cuidadosamente los grados de libertad eliminados por diversas restricciones, etc.

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