¿Por qué la trayectoria clásica da la contribución dominante en la integral de trayectoria?

En el límite clásico$\hbar\to 0$, esta es solo la aproximación WKB/fase estacionaria .

1. Heurísticamente, cerca de una configuración de campo estacionario$\phi_0$con

   $$\left. \frac{\delta S[\phi]}{\delta\phi}\right|_{\phi_0}~=~0\tag{1}$$ en el espacio de configuración de campo, la acción $$S[\phi]~=~S[\phi_0]+{\cal O}\left((\phi-\phi_0)^2\right)\tag{2}$$ varía lentamente, por lo que los factores de fase$\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right)$de las configuraciones de campo vecinas se suman y dan una contribución; mientras está lejos de una configuración de campo estacionario$\phi_0$, la acción varía rápidamente y las fases de las configuraciones de campo vecinas no están correlacionadas y se cancelan en promedio.

2. Perturbativamente, cerca de cada configuración de campo estacionario$\phi_0$, vamos a parametrizar el campo

   $$\phi^k~=~\phi^k_0+\sqrt{\hbar}\eta^k\tag{3}$$ en términos de un campo de fluctuación cuántica$\eta^k$. Entonces el argumento de la exponencial se lee$^1$ $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}S[\phi]~=~&\frac{i}{\hbar}S[\phi_0] ~+~ \frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} \cr &~+~ {\cal O}(\sqrt{\hbar}),\end{align}\tag{4}$$ dónde $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}\tag{5}$$ es la arpillera . La integral de trayectoria/funcional $$\begin{align}Z~=~~&\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right) \cr \stackrel{(3)+(4)}{=}&\sum_{\phi_0}\int\!{\cal D}\eta~\cr &\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]+\frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} + {\cal O}(\sqrt{\hbar})\right)\cr \stackrel{\text{WKB}}{\sim}~&\sum_{\phi_0}{\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_0]\right)^{-1/2}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0\end{align}\tag{6}$$ se convierte formalmente en una suma de instantes $\phi_0$, es decir, configuraciones de campo clásicas.

3. Para una introducción simple a este tema con muchas imágenes y casi ninguna fórmula, vea, por ejemplo, esta publicación de blog de The Physics Mill.

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$^1$Aquí estamos usando la notación condensada de DeWitt .

La contribución de caminos que se desvían del camino clásico son suprimidas por interferencia.