Las distribuciones de carga dipolares son esencialmente todas iguales: independientemente de cómo se sume una combinación de la forma
Las distribuciones de carga cuadrupolares, por otro lado, son más interesantes, porque puede tener distribuciones de 'doble maní' de la forma
Si considera que dos distribuciones de carga son equivalentes si difieren solo por una rotación rígida o por una constante global, ¿cuántos parámetros reales necesita para describir las distribuciones de carga cuadrupolares en la esfera unitaria de la forma?
Del mismo modo, ¿cómo se ven esas preguntas para los octupolos?
¿Qué pasa con los multipolos generales?
Editar: supongo, después de reflexionar más, lo que estoy pidiendo es la topología esencial del espacio de la órbita de la acción de en sus representaciones irreductibles: ¿el espacio cociente es una multiplicidad? si es así, ¿cuáles son sus dimensiones y su topología? ¿si no, porque no? Me gustaría ver esto por arbitrario. pero con un énfasis específico en ambos y , que me parecen los dos primeros ejemplos no triviales. (no anticipo ser mucho más complicado que la representación del octupolo, pero creo que el octupolo trae arrugas no triviales en comparación con el cuadrupolo.) Si la gente puede comentar sobre lo que sucede con la semiintegral eso sería genial también.
Soy consciente, en particular, de la reducción de la representación del cuadrupolo al diagonalizar su matriz de coeficientes, pero no me queda nada claro cómo se generalizaría esto a los tensores de rango 3 de la capa octupolar y más allá, y definitivamente me gustaría respuestas para abordar esta generalización.
Por otro lado, quiero que la discusión también aborde los detalles de estos espacios de órbita: qué representan los diferentes puntos y cómo se ven realmente esas distribuciones de carga, al menos en los puntos 'extremos' (como y ). El argumento del conteo de dimensiones en la respuesta de Logan es interesante, pero indica que hay distribuciones no equivalentes en , y esto significa que varias de esas dimensiones no están englobadas por los armónicos esféricos habituales: ya que y son equivalentes a la rotación, cuando se toman puros sólo puede producir hasta distribuciones distintas (con una eliminada en por equivalencia rotacional), esto significa que de en adelante debe haber al menos combinaciones lineales independientes de que no son rotacionalmente equivalentes a ninguno de ellos. ¿Cómo son estas combinaciones? Me gustaría ejemplos explícitos para los primeros casos no triviales, así como métodos sistemáticos para obtenerlos de forma arbitraria. .
Ahora, me doy cuenta de que todo este paquete es una gran pregunta, pero creo que es interesante y vale la pena explorarlo. Probablemente agregaré algún endulzante de puntos de Internet falsos en unos días, pero quiero respuestas más detalladas que las actuales.
La respuesta para los cuadrupolos es . La mejor manera de pensar en un cuadrupolo es considerar los elementos como combinaciones lineales de entradas en una matriz simétrica sin rastro:
El momento octupolar principal generalmente discutido en la literatura es proporcional a:
El lugar para buscar esto es la literatura de física nuclear, ya que los multipolos superiores revelan información sobre las formas nucleares, pero los libros de texto estándar que tengo a mano (Ring y Schuck, Krane) no discuten la componentes de los multipolos superiores. Los momentos octupolares se utilizan para probar la "forma de pera" de la figura, y siendo la pera simétrica axialmente, puede ser que la los componentes son demasiado pequeños para molestar.
(Ver también esta publicación para comentarios adicionales).
Hay una situación análoga en la mecánica cuántica. Por supuesto, es bien sabido que las representaciones proyectivas complejas irreducibles de dimensión finita de están parametrizados por un medio entero no negativo con dimensión . Sin embargo, sobre estas representaciones la acción proyectiva de solo es transitiva si o . Comprender las órbitas de sobre estas representaciones es, pues, una cuestión de interés.
Majorana encontró una solución simple, comúnmente conocida como la representación estelar de Majorana. Un vector general distinto de cero en el espín La representación se puede escribir como el producto tensorial simetrizado de vectores distintos de cero en el spin- representación. Esto es único hasta escalar los vectores por factores que se multiplican para y reordenando los vectores. Pasando a los espacios proyectivos, un estado general se representa por una colección de puntos no etiquetados (no necesariamente distintos) en la esfera de Riemann. la acción de Aquí hay solo rotaciones de la esfera.
Así, un subconjunto denso del espacio proyectivo se asigna a las configuraciones no degeneradas de puntos no etiquetados en una esfera, que es un ejemplo bien estudiado de un espacio de configuración . Los matemáticos entienden bien la topología de los espacios de configuración. Por ejemplo, su grupo fundamental es el cociente del grupo trenzado en hebras por un solo relator (ver este documento para una prueba). Ese espacio de configuración hereda el acción y el espacio de la órbita es el cociente de esa acción. También hay órbitas degeneradas cuando o más de los puntos coinciden, y esto impide que el espacio de la órbita sea una variedad legítima (es, sin embargo, un orbifold ).
Para relacionar esto con las distribuciones multipolares, en realidad no necesitamos hacer mucho trabajo. El armónicos esféricos para abarcar una copia de la representacion de . Aquí estamos viendo una representación real en lugar de una representación compleja. Como tal, debemos restringir el espacio a la sección real apropiada atravesada por armónicos esféricos reales. Además, en este caso se trata de una representación ordinaria, no de una representación proyectiva. Esto significa que obtenemos grado de libertad de volver a escalar por números reales (no se permite el cambio de escala por números complejos). Finalmente, el cociente por el acción mata 3 grados reales de libertad para suficientemente grande tal que la acción es fiel (en este caso ya es suficiente). En particular entonces, la dimensionalidad del espacio orbital es, por ,
Emilio Pisanty