¿Cómo demuestro que los estados propios de un hamiltoniano pueden hacerse ortonormales?

Me he estado tirando de los pelos por esto toda la noche. Debería ser simple, pero debo estar perdiendo algo en alguna parte. ¿Puede alguien mostrarme cómo probar que los estados propios de un hamiltoniano se pueden hacer ortonormales, por favor?

Sugerencia: use el hecho de que el hamiltoniano es hermitiano y considere el producto interno ⟨ F | H gramo ⟩ .
Para usar la sugerencia de @BrianBi, también debe suponer que los valores propios correspondientes a los estados propios son diferentes. Si los valores propios son iguales, puede hacer que sean ortogonales según Gramm-Schmidt.
Con respecto a su respuesta en ese segundo enlace, Qmechanic, no veo el problema con los espacios propios no ortogonales, siempre que modifiquemos nuestra regla Born a 'la probabilidad de colapso en el estado mi → 1 es el cuadrado mi → 1 componente del vector ψ en la base mi → i '. Para una base ortonormal, podemos obtener este componente tomando el producto interno con mi → 1 (recuperando la regla de Born), pero de forma arbitraria aún podemos extraer un componente, solo necesitamos el vector base recíproco. Las proyecciones aún tienen significado en bases no ortonormales.

Respuestas (1)

  1. Primero probamos la ortogonalidad de los vectores propios no degenerados del hamiltoniano. Considere el paréntesis y actúe con el hamiltoniano en ambas direcciones,

    ⟨ α | H | β ⟩ = mi α ⟨ α | β ⟩ = mi β ⟨ α | β ⟩

    Si los estados no son ortogonales ( ⟨ α | β ⟩ ≠ 0 ) entonces obtendríamos una contradicción ya que asumimos que los estados no son degenerados ( mi α ≠ mi β ). Entonces debemos tener

    ⟨ α | β ⟩ = 0

    para estados distintos.

  2. Ahora necesitamos demostrar que el paréntesis de dos estados propios es igual a 1 hasta una fase. Considere el freno:

    ⟨ α | α ⟩ = ∑ norte ⟨ α | norte ⟩ ⟨ norte | α ⟩ = ⟨ α | α ⟩ ⟨ α | α ⟩

    donde hemos insertado una suma sobre los estados del hamiltoniano y luego usamos la relación de ortogonalidad que demostramos anteriormente. Ahora podemos dividir ambos lados por ⟨ α | α ⟩ Llegar

    ⟨ α | α ⟩ = 1

  3. Por lo tanto, solo hemos considerado vectores propios no degenerados. Los vectores propios degenerados no se pueden distinguir y no es necesario que sean ortogonales entre sí. Sin embargo, para cualquier conjunto de vectores linealmente independientes (todas las funciones de onda de un hamiltoniano son linealmente independientes) existen combinaciones lineales de ellos que son ortogonales que se pueden encontrar mediante el procedimiento de Gram-Schmidt . Por lo tanto, uno puede elegir los vectores para que sean linealmente independientes.
+1 Probablemente necesite agregar que si los valores propios son iguales, entonces puede organizar un conjunto finito de vectores propios degenerados para que sean ortogonales mediante el proceso de Gramm-Schmidt.
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