Este es un valor escalar que es una proyección del estado$H|\psi \rangle$sobre el estado$|\phi \rangle$. El estado$H|\psi \rangle$resulta de la acción del operador$H$sobre el estado$|\psi \rangle$. si el estado$|\psi \rangle$es un estado propio del operador$H$, la expresión se puede reescribir como$E \langle\phi|\psi \rangle$. si el estado$|\phi \rangle$es también un estado propio del operador$H$, tenemos$E \delta_{\phi,\psi}$, lo que significa que obtenemos cero si los estados son ortogonales y un valor esperado de la energía si son conjugados.

Si ambos estados no son estados propios, podemos desarrollarlo utilizando la resolución de identidad en términos de los estados propios hamiltonianos:$1=\sum_i |i \rangle \langle i|$. Al multiplicar la identidad de ambos lados del hamiltoniano, la expresión resultante es:

$$\sum_{ij} \langle\phi|i \rangle \langle i|H |j \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{ij} E_j \delta_{i,j} \langle\phi|i \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{j} E_j \langle\phi|j \rangle \langle j|\psi \rangle$$

Por lo tanto, tenemos una suma de productos de las proyecciones de dos estados en todos los estados propios del hamiltoniano multiplicados por una energía correspondiente.

Este es un complemento a la respuesta correcta de freude :

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hamiltoniano es el generador infinitesimal de traslación del tiempo definido como

$$\mathrm{\hat{U}}(\mathrm dt)= 1- \frac{i}{\hbar} \mathrm{\hat{H}}(t)~\mathrm dt\;.$$

Operador de evolución temporal:

Deje que el sistema esté en$|\phi\rangle\;.$Ahora, esperemos un tiempo .....

¿Cuál es la amplitud de probabilidad de encontrar nuestro sistema en$|\chi\rangle\;?$

no debería ser$\langle\chi|\phi\rangle$como ahora hemos esperado un cierto intervalo de tiempo; este retraso debe tenerse en cuenta.

Operador de evolución temporal$\mathrm{\hat{U}}$luego viene a rescatar.

Supongamos que el sistema se prepara en$|\phi\rangle$en$t_1$. ¿Cuál es la amplitud de probabilidad de encontrar nuestro sistema en el estado$|\chi\rangle$en el momento$t_2\;?$

La amplitud requerida se escribe como

$$\left\langle\chi\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|\phi\right\rangle$$

O si se expande sobre los estados base, esto se puede escribir como

$$\sum_{jk}\langle\chi |j\rangle\left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|k\right\rangle\langle k|\phi\rangle\;.$$

El$\mathrm{\hat U}$matriz:

La amplitud de probabilidad de encontrar nuestro sistema en un estado diferente en algún momento posterior después de prepararlo en otro estado se puede escribir como

$$|\psi(t+\Delta t)\rangle = \mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)|\psi(t)\rangle$$

Multiplicando ambos lados por$\langle j|$, el estado base, obtenemos

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle = \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|\psi(t)\right\rangle$$

Resolviendo nuestro vector de estado$|\psi(t+\Delta t)$a nuestros estados base interesados, obtenemos

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle\langle k|\psi(t)\rangle\;.$$

$$\mathrm{U}_{jk}\equiv \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle$$ constituye uno de los elementos de$\rm{\hat{U}}$matriz _

Entonces podemos reformar la amplitud de probabilidad como:

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)$$

dónde$C_{k}(t)$representa la amplitud de probabilidad de encontrar nuestro sistema en el estado base$|k\rangle$en el momento$t\;.$

¿Qué implica esto?

Esto significa que la amplitud de encontrar el sistema en un cierto estado base en$t+\Delta t$es proporcional a todas las otras amplitudes$C_k$en el momento$t\;.$

El hamiltoniano:

Podemos escribir la amplitud de probabilidad como:

$$C_j(t+\Delta t) =\sum_{j} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)\;.$$

Como$\Delta t\to 0\,,$

$$\mathrm{ U}_{jk}\to \delta_{jk} \;.$$

Entonces, podemos escribir

$$\mathrm{U}_{jk}(t+\Delta t,t)= \delta_{jk}+ \left(\frac{-i}{\hbar}\right)\mathrm{H}_{jk}\,\Delta t$$ dónde$\mathrm{H}_{jk}$Se define como

$$\mathrm{ H}_{jk}= \lim_{\Delta t\to 0}\,\frac{\mathrm{U}(t+\Delta t)_{jk}- \mathrm{U}(t)_{jk}}{\Delta t}\;.$$

Usando esto, reescribimos nuestra amplitud como:

$$C_j(t+\Delta t)= \sum_{k}\left[\delta_{jk}- \left(\frac{i}{\hbar}\right)\,\mathrm{H}_{jk}(t)~\mathrm dt\right]\, C_k(t)$$

Los elementos$\mathrm{H}_{jk}$constituyen la matriz hamiltoniana.$\mathrm H$s determinar la variación temporal del estado del sistema; incluyen la " física de la situación " que hace que los coeficientes cambien con el tiempo.

La situación física puede corresponder a un campo eléctrico, un campo magnético variable, cualquier cosa.$\rm H$s determinar lo que sucederá con el tiempo.

tl; dr:

Para traducir el estado en un intervalo de tiempo o para conocer el desarrollo temporal de un sistema, usamos el operador de evolución temporal como

$$\mathrm{\hat U}(t_2,t_1)|\psi(t_1)\rangle= \exp\left[\frac{-i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}\,\mathrm{\hat H}(t')\,\mathrm dt'\right] |\psi(t_1)\rangle\;.$$

Aquí,$\rm{\hat H}$ genera una traducción de tiempo infinitesimal.

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Pero como debo interpretar$\langle \phi | H | \psi \rangle$?

Representa la amplitud de probabilidad de transición por unidad de tiempo de encontrar nuestro sistema en$\phi$siempre que el sistema haya sido preparado en$\psi\;.$

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Referencias:

$\bullet$ Conferencias sobre física de Feynman, Leighton, Sands.

$\bullet$ Un enfoque moderno de la mecánica cuántica por John S. Townsend.