¿Cuándo un componente vectorial sigue siendo un vector, exactamente?

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¿Cuándo un componente vectorial sigue siendo un vector, exactamente?

Física
vectores
geometría
ley de Coulomb
campos vectoriales
campos eléctricos

Lluvia

El inglés no es mi idioma nativo, así que perdone mis errores.

Considere este ejemplo: Este es un clásico: un ejercicio que requiere que calcule el campo eléctrico producido por un anillo cargado en su eje. Aquí expondré mi razonamiento para mostrarte lo que no puedo entender.

Cada pequeño cargo $dq$ en el anillo está contribuyendo al campo eléctrico. Su campo eléctrico es obviamente un vector: $d \vec{mi} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{tu}$ $d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$
Sabemos que debido a la simetría, la $x$ componentes del campo se comportan "normalmente", lo que significa que se suman, pero el $\bot$ los componentes respectivamente se cancelan a sí mismos. Entonces solo consideramos el $x$ componente del campo para nuestros cálculos: $d {mi}_{X} = d \vec{mi} C o s θ$ $dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$ por lo que sé, siendo $dE_{x}$ el componente de otro vector debe ser solo un número . Sin embargo, también puedo ver que los hechos de simetría hacen que solo la dirección del campo sea constante, pero la $dE_{x}$ campo tiene todavía un verso dependiendo de la positividad o negatividad de las cargas del anillo, por lo que no puede ser sólo un número. Mi libro, sin embargo, es así:
Introduce el $x$ campo como una función de números: $d {mi}_{X} (X) = \frac{λ d yo}{4 π ϵ_{0} r^{2}} C o s θ$ $dE_{x}(x) = \frac{\lambda dl}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}cos\theta$
Luego procede a integrar, y considera el campo final aún como una función de x pero como un vector completo: $\vec{mi} (X) = \frac{λ C o s θ \hat{{tu}_{X}}}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \int_{0}^{yo} d yo$ $\vec{E}(x) = \frac{\lambda cos\theta \hat{u_{x}}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\int_{0}^{l} dl$

Ahora, me confundo mucho aquí.

Primero aislamos un componente $dE_{x}$ que no era un vector.
Sin embargo, ese componente sigue siendo un vector incluso si su dirección es fija, o tal vez el libro solo estaba considerando su magnitud. Ahora estamos considerando el campo como una función de un vector: $\vec{E}(x)$ que es igual al producto entre la fórmula de campo original $d\vec{E}$ y el $cos\theta$ por la simetría.
Así que en la expresión final del libro tenemos el campo como vector, pero también el $cos\theta$ que estaba aislando a $x$ componente y luego también el vector unitario del campo se llama $\hat{u}_{x}$ !

¿No es esto una repetición? Como puedes ver, estoy realmente confundido. ¿Qué, en este proceso de cálculo, sigue siendo un vector y qué no? Si fuera para mí sin confundirme con ningún libro solo volvería al paso 2 de la primera lista, a la expresión

d {mi}_{X} = d \vec{mi} C o s θ

$dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$ y simplemente proceder al cálculo

d {mi}_{X} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{tu} C o s θ

$dE_{x} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}\,cos\theta$ pero no podría decir exactamente cómo interactúan estos vectores.

Arturo

Al descomponer el vector

(2, 3)

$(2, 3)$ en una suma de vectores paralelos a los ejes,

(2, 0)

$(2, 0)$ es un vector, pero

2

$2$ no es. Las personas descuidadas llaman a ambos la componente horizontal del vector. Y para las personas que no son descuidadas, cuál de ellos se llama realmente "el componente horizontal" y cómo llamar al otro puede variar.

Respuestas (3)

¿Cuándo un componente vectorial sigue siendo un vector, exactamente?

Al descomponer el vector $(2, 3)$ en una suma de vectores paralelos a los ejes, $(2, 0)$ es un vector, pero $2$ no es. Las personas descuidadas llaman a ambos la componente horizontal del vector. Y para las personas que no son descuidadas, cuál de ellos se llama realmente "el componente horizontal" y cómo llamar al otro puede variar.

Noé · Answer 1

En primer lugar, una expresión como

d {mi}_{X} = d \vec{mi} porque θ

$dE_{x} = d\vec{E}\,\cos\theta$ nunca puede ser correcto. Si tienes un vector a la derecha, también tendrás un vector a la izquierda. La expresión correcta sería

d {mi}_{X} = d \vec{mi} \cdot {\hat{tu}}_{X} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \underset{porque θ}{\underset{⏟}{(\hat{tu} \cdot {\hat{tu}}_{X})}} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} porque θ

$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \underbrace{(\hat{u} \cdot\hat{u}_x)}_{\cos\theta} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$ que de hecho es un escalador ("solo un número", como lo llamas).

Lo que está pasando aquí es que queremos saber el vector de campo eléctrico

\vec{mi} = (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ {mi}_{y} \\ {mi}_{z} \end{matrix}) .

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}.$ Sin embargo, sabemos por simetría que dos de estas entradas deben ser cero.

\vec{mi} = (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) .

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ Ahora, como ya sabemos en qué dirección apunta el campo (a lo largo de la

x

$x$ -eje), solo necesitamos calcular la magnitud de

E_{x}

$E_x$ para obtener nuestro resultado. Entonces extraemos el escalar

E_{x}

$E_x$ del vector así:

{mi}_{X} = {\hat{tu}}_{X} \cdot \vec{mi} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ {mi}_{y} \\ {mi}_{z} \end{matrix})

$E_x = \hat{u}_x \cdot \vec{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}$ Ahora queremos saber la contribución de un elemento de línea al campo total, que ya ha dado

d \vec{mi} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{tu}

$d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$ Pero solo necesitamos el

x

$x$ -componente, que es la proyección de

d \vec{E}

$d\vec{E}$ sobre la

x

$x$ -eje, que ya se da arriba

d {mi}_{X} = d \vec{mi} \cdot {\hat{tu}}_{X} = \frac{d q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} porque θ

$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$ de la geometría del problema.

Entonces calculo para $E_x$ continúa como en tu publicación. Sin embargo, al final queremos el vector de campo eléctrico , por lo que debemos sustituir la magnitud de $E_x$ de nuevo en un vector que tiene sólo un $x$ -componente.

\vec{mi} = (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = {mi}_{X} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = {mi}_{X} \cdot {\hat{tu}}_{X}

$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \hat{u}_x$

Esta respuesta no es correcta, ya que $dE_x=d|\overrightarrow E| \cos\theta$ pierde el signo de $q$ , o en otras palabras, este es el valor absoluto de $dE_x$ , no $dE_x$ sí mismo. Creo que este signo es el núcleo de la confusión en la pregunta original.
@tobi_s ¿Cómo pierde el letrero? El signo es capturado por el $\cos\theta$ parte, ya que puede tomar valores entre -1 y 1.
Dudo que esto haya sido el núcleo de la confusión del OP, pero estoy de acuerdo en que fue una notación descuidada; debería estar claro ahora.
@Kyle No creo que una redefinición de ángulos dependiente de la carga ayude al póster original de ninguna manera. Pero su punto de vista puede ser consistente con los valores absolutos negativos que parece tolerar :-) De todos modos, eso es discutible ahora que @ noah mejoró su respuesta.
@noah Ciertamente es el punto donde el OP me perdió, pero la confusión puede surgir de muchas y diferentes maneras :) No obstante, gracias por limpiar la notación.

granjero · Answer 2

No se puede tener un escalar igual a un vector.

Empezando desde $d\vec{E} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$ para llegar al componente en el $\hat x$ dirección

$d\vec{E} \cdot \hat x = dE_{\rm x} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u} \cdot \hat x =\dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos \theta$

João Vítor G. Lima · Answer 3

El componente de un vector también es un vector. Si tenemos un vector $\vec{v}$ en (por ejemplo) dos dimensiones, podemos decir que es la suma de dos componentes, que son sus proyecciones sobre el $x$ -eje y $y$ -eje. Matemáticamente:

\vec{v} = {\vec{v}}_{X} + {\vec{v}}_{y}

$\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y$

En el problema que estás resolviendo:

d \vec{mi} = d {\vec{mi}}_{X} + d {\vec{mi}}_{y}

$d\vec{E} = d\vec{E}_x + d\vec{E}_y$

Esta es una suma vectorial, por supuesto. El componente de un vector sigue siendo un vector, no es un escalar. Sin embargo, si queremos hablar sobre el módulo de los vectores:

d {mi}^{2} = d {mi}_{X}^{2} + d {mi}_{y}^{2}

$dE^2 = dE_x^2 + dE_y^2$

También podemos escribir esto en términos de los ángulos. Encontraríamos:

d {mi}_{X} = d mi porque θ

$dE_x = dE \cos\theta$

d {mi}_{y} = d mi pecado θ

$dE_y = dE \sin\theta$

Entonces un vector nunca es igual a un escalar.

Esto está usando una definición diferente de "componente" que las otras respuestas. En esta respuesta, el componente y el vector unitario no son entidades separadas; en las otras respuestas, el componente es el producto punto de un vector y un vector unitario (y por lo tanto es un escalar). Los objetos que describe como "componentes" aquí podrían denominarse en las otras respuestas como proyecciones de un vector en un vector unitario dado. Por favor, aclare esta distinción.

¿Cuándo un componente vectorial sigue siendo un vector, exactamente?

Lluvia

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