¿Cuándo se puede medir una simetría global?

El principio rector es: "Las simetrías anómalas no se pueden medir". El fenómeno de las anomalías no se limita a las teorías cuánticas de campos. También existen anomalías en las teorías de campo clásicas (traté de enfatizar este punto en mi respuesta a esta pregunta ).

(Como ya se mencionó en la pregunta), en el nivel clásico, una simetría es anómala cuando se desarrolla el álgebra de Lie de su realización en términos de los campos y sus momentos conjugados (es decir, en términos del álgebra de Poisson de la teoría del campo de Lagrange). una prórroga con respecto a su acción en los campos. Este es exactamente el caso del cambio de campo complejo en el Lagrangiano de Schrödinger.

En las teorías galileanas (clásicas) de campos, la existencia de anomalías va acompañada de la generación de un incremento derivado total al Lagrangiano, lo que nuevamente se manifiesta en el caso de la simetría de cambio de campo del Lagrangiano de Schrödinger, pero esto no es un requisito general. . (Vea nuevamente mi respuesta anterior que se refiere a la generación de masa como una extensión central en la mecánica galileana).

En una terminología más moderna, la imposibilidad de medir se denomina como una obstrucción a las extensiones equivariantes de los lagrangianos dados. Una familia no trivial de lagrangianos clásicos, que exhiben obstrucciones no triviales, son los lagrangianos que contienen términos de Wess-Zumino-Witten. Dados estos términos, solo se pueden medir (clásicamente) subgrupos libres de anomalías de los grupos de simetría. Estos subgrupos consisten exactamente en los libres de anomalías. El aforo y la obstrucción al mismo se pueden obtener utilizando la teoría de la cohomología equivariante, ver el siguiente artículo de Compean y Paniagua y su lista de referencias.

I) El tema de medir las simetrías globales es un tema bastante amplio, que es difícil de encajar en una respuesta de Phys.SE. Para simplificar, consideremos solo una única (y por lo tanto necesariamente abeliana) transformación infinitesimal continua$^1$

$$\tag{1} \delta \phi^{\alpha}(x)~=~\varepsilon(x) Y^{\alpha}(\phi(x),x),$$

donde $\varepsilon$es un parámetro real infinitesimal, y $Y^{\alpha}(\phi(x),x)$es un generador, tal que la transformación (1) es una cuasi-simetría$^2$de la densidad lagrangiana

$$\tag{2} \delta {\cal L} ~=~ \varepsilon d_{\mu} f^{\mu} + j^{\mu} d_{\mu}\varepsilon$$

siempre que $\varepsilon$una $x$-parámetro global independiente , tal que el último término de la derecha. de la ec. (2) desaparece. Aquí $j^{\mu}$y

$$\tag{3} J^{\mu}~:=~j^{\mu}-f^{\mu}$$

son las corrientes desnuda y plena de Noether, respectivamente. La correspondiente ley de conservación en el caparazón dice$^3$

$$\tag{4} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0,$$

cf. El primer teorema de Noether . Aquí $f^{\mu}$son los llamados términos de mejora, que no se definen únicamente a partir de la ec. (2). Bajo supuestos leves, es posible arreglar parcialmente esta ambigüedad asumiendo la siguiente condición técnica

$$\tag{5}\sum_{\alpha}\frac{\partial f^{\mu}}{\partial(\partial_{\nu}\phi^{\alpha})}Y^{\alpha}~=~(\mu \leftrightarrow \nu),$$

que será importante para el Teorema 1 a continuación. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la densidad lagrangiana original

$$\tag{6} {\cal L}~=~{\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x); A(x),F(x);x).$$

ya depende (posiblemente trivialmente) de la $U(1)$campo de calibre $A_{\mu}$y su intensidad de campo abeliano

$$\tag{7} F_{\mu\nu}~:=~\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.$$

La transformación de norma abeliana infinitesimal se define como

$$\tag{8} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon.$$

Introduzcamos la derivada covariante

$$\tag{9} D_{\mu}\phi^{\alpha}~=~\partial_{\mu}\phi^{\alpha} - A_{\mu}Y^{\alpha},$$

que se transforma covariantemente

$$\tag{10} \delta (D_{\mu}\phi)^{\alpha}~=~\varepsilon (D_{\mu}Y)^{\alpha}$$

bajo las transformaciones de calibre (1) y (8). Entonces se puede demostrar bajo suposiciones moderadas el siguiente Teorema 1.

Teorema 1. Las transformaciones de calibre (1) y (8) son una cuasi-simetría para la siguiente densidad denominada Lagrangiana calibrada

$$\tag{11} \widetilde{\cal L}~:=~ \left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}+\left. A_{\mu} f^{\mu}\right|_{\partial\phi\to D\phi}.$$

II) Ejemplo: Teoría del campo libre de Schrödinger. La función de onda $\phi$es un campo complejo (par de Grassmann). La densidad lagrangiana dice (poniendo $\hbar=1$):

$$\tag{12} {\cal L} ~=~ \frac{i}{2}(\phi^*\partial_0\phi - \phi \partial_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(\partial_k\phi)^*\partial^k\phi.$$

La ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es la ecuación de Schrödinger libre

$$0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi^*} ~=~ i\partial_0\phi~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi$$ $$\tag{13} \qquad \Leftrightarrow \qquad 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi} ~=~ -i\partial_0\phi^*~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi^*.$$

La transformación infinitesimal es

$$\tag{14} \delta \phi~=~Y\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \phi^*~=~Y^*\varepsilon^*,$$

donde $Y\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$es un número complejo fijo distinto de cero. Tenga en cuenta que el Teorema 1 anterior solo es aplicable a una única transformación real (1). Aquí estamos tratando de aplicar el Teorema 1 a una transformación compleja , por lo que puede que no tengamos éxito, pero veamos hasta dónde llegamos. Las corrientes de Noether complejas son

$$\tag{15} j^0~=~ \frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad j^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*, \qquad k~\in~\{1,2,3\},$$

$$\tag{16} f^0~=~ -\frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad f^k~=~0,$$

$$\tag{17} J^0~=~ iY\phi^*, \qquad J^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*,$$

y las relaciones conjugadas complejas correspondientes de las ecs. (15)-(17). La transformación de calibre compleja infinitesimal se define como

$$\tag{18} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta A_{\mu}^*~=~d_{\mu}\varepsilon^*.$$

La densidad lagrangiana (11) dice

$$\widetilde{\cal L} ~=~\frac{i}{2}(\phi^*D_0\phi - \phi D_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi +\frac{i}{2}(\phi Y^* A_0^* - \phi^*Y A_0)$$ $$\tag{19} ~=~\frac{i}{2}\left(\phi^*(\partial_0\phi-2Y A_0) - \phi (\partial_0\phi-2YA_0)^*\right) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi .$$

Destacamos que la densidad lagrangiana $\widetilde{\cal L}$no es solo la densidad lagrangiana original mínimamente acoplada$\left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}$. El último término de la derecha. de la ec. (11) también es importante. Una transformación de calibre infinitesimal de la densidad lagrangiana es

$$\tag{20} \delta\widetilde{\cal L}~=~\frac{i}{2}d_0(\varepsilon^*Y^*\phi -\varepsilon Y\phi^*) + i|Y|^2(\varepsilon A_0^* - \varepsilon^* A_0)$$

para $x$parámetro de calibre local dependiente $\varepsilon=\varepsilon(x)$. Tenga en cuenta que las transformaciones complejas locales (14) y (18) no son una (cuasi) simetría de calibre de la densidad lagrangiana (19). La obstrucción es el segundo término de la derecha. de la ec. (20). Sólo el primer término de la derecha. de la ec. (20) es una derivada del tiempo total. Sin embargo, restrinjamos el parámetro de calibre $\varepsilon$y el campo de calibre $A_{\mu}$pertenecer a una dirección compleja fija en el plano complejo,

$$\tag{21}\varepsilon,A_{\mu}~\in ~ e^{i\theta}\mathbb{R}.$$

Aquí $e^{i\theta}$es algún factor de fase fijo, es decir, dejamos solo un solo gdf de calibre real . Luego, el segundo término en la derecha. de la ec. (20) desaparece, por lo que la densidad lagrangiana medida (19) tiene una simetría de medida real (cuasi) de acuerdo con el Teorema 1. Tenga en cuenta que el campo $\phi$sigue siendo una variable completamente compleja incluso con la restricción (21). También tenga en cuenta que la densidad lagrangiana (19) puede manejar tanto las transformaciones de cambio locales reales como imaginarias (14) como (cuasi) simetrías de calibre a través de la construcción de restricción (21), aunque no simultáneamente.

III) Una lista incompleta para estudios posteriores:

1. Peter West, Introducción a la supersimetría y la supergravedad, 1990, cap. 7.

2. Henning Samtleben, Conferencias sobre compactaciones de flujo y supergravedad calibrada, clase. cuant. gravedad 25 (2008) 214002, arXiv:0808.4076 .

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$^1$Por simplicidad, se supone que la transformación (1) es una denominada transformación vertical. En general, también se podrían permitir contribuciones horizontales de la variación de $x$.

$^2$Para la noción de cuasi-simetría, consulte, por ejemplo, esta respuesta de Phys.SE.

$^3$Aquí el $\approx$símbolo significa igualdad módulo ecuación de movimiento (eom). Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si eom está satisfecho o no.

En primer lugar, no se puede medir una simetría sin modificar (enriquecer) el contenido del campo. Calibrar una simetría significa agregar un campo de calibre y las interacciones apropiadas (p. ej., covariantizando todos los términos con derivadas, en el caso de las simetrías de Yang-Mills y difeomorfismo).

Las simetrías globales y de calibre son entidades diferentes cuando se trata de sus interpretaciones físicas; pero también son entidades diferentes cuando se trata del grado de simetría que realmente tienen.

Con respecto a la última diferencia, una simetría es una simetría de calibre si los parámetros de las transformaciones $\lambda$puede depender de las coordenadas del espacio-tiempo, $\lambda = \lambda(\vec x,t)$. Si pueden, pueden y la teoría tiene una simetría de calibre; si no pueden, no pueden y la teoría tiene como máximo una simetría global. No puede haber ninguna ambigüedad aquí; no puedes "medir una simetría sin cambiar nada en absoluto".

Con respecto a la primera diferencia, las simetrías de calibre deben tratarse como redundancias: las configuraciones físicas (clásicamente) o los estados cuánticos (mecánicamente cuánticos) deben considerarse físicamente idénticos si solo difieren en una transformación de calibre. Para las simetrías de calibre de Lie, esto equivale a decir que los estados físicos deben ser aniquilados por los generadores de las simetrías de calibre. Para cualquier simetría local como se describe en el párrafo anterior, normalmente se generan estados no físicos (de norma negativa, etc.) y deben desacoplarse, clasificándose como no físicos.

En el caso de Yang-Mills, se puede medir una simetría global pero el espectro final debe estar libre de anomalías porque las anomalías de calibre son inconsistencias físicas exactamente porque las simetrías de calibre son solo redundancias y no se permite "romperlas" espontáneamente porque realmente reducir el espectro físico a uno consistente. En este sentido, difieren de las simetrías globales que pueden romperse. Por supuesto, incluso una simetría global anómala puede medirse añadiendo los campos de calibre y otros campos que son capaces de cancelar la anomalía de calibre.

Finalmente, la invariancia de desplazamiento del Dirac sin masa $\psi$en su ejemplo, corresponde físicamente a la posibilidad de agregar un fermión de energía cero y impulso cero al sistema. Es solo una forma de encontrar una "nueva solución" de esta teoría que es posible porque $\psi$solo se acopla a través de términos derivados. La simetría no sería una simetría si hubiera un término de masa.

Puede medir fácilmente esta simetría reemplazando $\psi$con $\psi+\theta$en todas partes en la acción y promoviendo $\theta$a un nuevo campo, que juega un papel similar al del nuevo campo de calibre $A_\mu$si está midiendo una simetría global similar a la de Yang-Mills. Al hacerlo, tendrá el doble de grados de libertad fermiónicos fuera de la capa, pero la acción no dependerá de uno de ellos, $\psi+\theta$(el signo opuesto), en absoluto. Entonces, este campo creará partículas fantasmales que no interactúan con nada más; de hecho, ni siquiera tienen términos cinéticos. Claramente, estos cuantos dinámicamente indeterminados no deben contarse en una teoría física (aunque, en cierto sentido, "simplemente" aumentan la degeneración de cada estado de los campos físicos en un factor adicional infinito), por lo que la forma correcta de tratarlos, como siempre en las teorías de calibre, es exigir que los estados físicos no puedan contener tales cuantos.

Este requisito lo devuelve efectivamente a la teoría original, solo con $\psi$renombrado como $\psi+\theta$. No obtendrá una nueva teoría interesante de esta manera y no hay ninguna razón por la que medir una simetría siempre deba producir una nueva teoría tan interesante. El caso de las teorías de Yang-Mills o teorías covariantes en general es diferente porque son interesantes: con un contenido de campo covariante de Lorentz, se pueden crear teorías sin fantasmas (estados de norma negativa) a pesar de que predicen la existencia de espín. una o dos partículas de espín (del campo de calibre, que es el tensor métrico en el caso de espín dos). Pero esto solo es posible porque estas teorías son especiales y la acción de las transformaciones de simetría es menos trivial que en tu caso. Las simetrías de "cambio" solo se pueden medir de una manera que cambia el nombre o borra campos completos para que simplemente no puedan conducir a nuevas posibilidades interesantes.

Suponiendo que las siguientes manipulaciones son correctas, la simetría traslacional de su Lagrangiano se puede medir incluyendo un campo de calibre escalar $\phi$y un campo de calibre de una forma $A_{\mu}$.

En primer lugar, suponiendo que los términos de contorno no contribuyen, podemos escribir la densidad lagrangiana como

$$\mathscr L=\psi^\dagger i\partial_t\psi-\frac{1}{2m}(\partial^{\mu}\psi)^{\dagger}\partial_{\mu}\psi.$$

Ahora escribiendo $\psi$como $\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$la traducción de $\psi$se puede escribir como $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

Álgebra de mentira del grupo de matrices de la forma $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$es el conjunto de matrices $\left[ \begin{array}{cc} 0 & a+ib\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]$

Ahora, para medir esta simetría, introduzca un álgebra de Lie valorada en una forma $A=A_{\mu}dx^{\mu}$que bajo una transformación de calibre

$\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

transformar como

$A_{\mu}\rightarrow g(x)A_{\mu}g(x)^{-1}+(\partial_{\mu}g(x))g(x)^{-1}$

donde $g(x)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$

Sin embargo notamos que el Lagrangiano

$$\mathscr L=\psi^\dagger i(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

no es calibre invariante y tampoco real.

La obstrucción para medir la invariancia es el hecho de que $\psi^{\dagger}$no se transforma por multiplicación correcta por $g(x)^{-1}$sino más bien por multiplicación correcta por $g(x)^{\dagger}$

Para reparar la invariancia de calibre, se puede introducir un campo de calibre escalar valorado en matriz $\phi$cuyo exponencial bajo cambio de calibre cambia como

$exp(\phi(x))\rightarrow (g(x)^{\dagger})^{-1}exp(\phi(x))g(x)^{-1}$

(¿cómo $\phi$¿cambiar? No estoy seguro)

Entonces vemos que el lagrangiano

$$\mathscr L=\psi^\dagger iexp(\phi(x))(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}exp(\phi(x))(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

es calibre invariante. Sin embargo, todavía el Lagrangiano no es real. Para reparar eso, podemos incluir conjugados complejos de cada término en él.