Velocidad lineal vs velocidad angular

El libro es un poco confuso, pero tanto él como usted tienen razón.

Sí, el punto P describe una trayectoria circular; esto significa que en cualquier momento tiene una velocidad$v=\omega r$.

Un punto en realidad no tiene "velocidad angular" por sí mismo; no se puede decir que está girando porque no tiene momento angular alrededor de su centro de masa. Requiere una aceleración constante (centrípeta) para permanecer en la trayectoria circular.

Toda la línea OP, por otro lado, puede verse girando: si tiene una masa por unidad de longitud, la energía total sería mayor que la energía cinética de su centro de masa (que se mueve a$v=\frac12\omega r$). Cada punto de la línea tiene una velocidad diferente (porque tiene una distancia diferente$r$al centro de rotación). Entonces no tiene mucho sentido hablar de la velocidad de OP.

Solo los sólidos pueden tener velocidad angular, por definición. Olvídese de la definición del profano de un sólido, un sólido en matemáticas es el siguiente:

Considere el espacio R3, donde cada punto tiene un vector de posición con 3 coordenadas. Esto en sí mismo es un sólido "fijo", un sólido que no se mueve. Un sólido es un espacio R3 tal que ningún punto se mueve con respecto a otro. En el espacio R3 tradicional, todos los puntos son fijos, por lo que no se mueven entre sí.

Ahora mantén este espacio R3 fijo en tu mente. Definimos otro espacio R3 que se superpone al espacio R3 fijo, de modo que cada punto en el espacio R3 fijo corresponde a otro punto en el nuevo espacio R3. La diferencia es que este nuevo espacio R3 se mueve, pero se mueve JUNTO, de modo que dentro del espacio R3 no hay movimiento relativo de sus puntos entre sí. Eso es un sólido, y su velocidad angular es la tasa de cambio angular del sólido alrededor de su eje de rotación.

Por lo tanto, cuando un punto se mueve COMO PARTE DE UN SÓLIDO con una velocidad angular específica, decimos que el punto tiene esa velocidad angular. Si su movimiento no corresponde a un movimiento de esta naturaleza, entonces no se puede definir su velocidad angular.

La pregunta es un poco confusa, pero déjame intentar poner algo de información de una manera que espero responda a la pregunta. Supongo que la línea es un desgaste sólido o una varilla delgada.

En tal caso, cada partícula en la barra poseerá una velocidad lineal$v$que se reduce a medida que te mueves desde el punto P hacia el centro. El centro en realidad tiene una velocidad lineal cero (visualiza el ala de un ventilador, puedes rastrear el movimiento del borde interior del ala pero no el exterior. La razón es que la velocidad del borde exterior es mayor que la del interior, por lo tanto, es difícil de determinar). seguimiento por los ojos). La otra forma de interpretar es que el borde exterior tiene que cubrir una circunferencia más grande (debido a un radio más grande) que el borde interior (radio más pequeño) al mismo tiempo.$t$. Por lo tanto, el centro que tiene radio cero tiene velocidad cero.

Sin embargo, la velocidad angular$\omega$mide el barrido angular del alambre OP por unidad de tiempo. Puede ver claramente que cada punto en OP barre un ángulo similar y, por lo tanto, la velocidad angular de cada punto en OP es la misma.

Entonces, la velocidad angular del cable y cada uno de sus puntos es la misma, pero la velocidad lineal se reduce a medida que avanza de P hacia O.

La relación entre la velocidad lineal v y la velocidad angular viene dada por la ecuación

$v = \omega r$

Matemáticamente también desde$\omega$es constante,$v$debe aumentar como$r$aumenta y se reduce a medida que$r$reduce

Use esta nota para averiguar cualquier respuesta sobre el movimiento de rotación de OP

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Rotación - Desplazamiento angular, Velocidad y aceleración