¿Cuáles son los buenos "hábitos matemáticos" que han mejorado su práctica matemática?

Creo que esta es una gran pregunta y ya ha dado un paso importante para abordar el problema: darse cuenta de que no está satisfecho con su proceso de trabajo matemático y buscar formas de mejorarlo. Aquí hay algunas ideas y sugerencias que encontré útiles:

1. Entiende bien los objetos básicos del juego. Esto significa que debería poder dar muchos ejemplos interesantes y no ejemplos de los objetos en los que trabaja. Haga una lista (mental o física) de tales ejemplos. ¿Cuáles son los ejemplos más importantes de espacios vectoriales? ¿De subespacios? ¿Puedes dar un ejemplo de algo que no sea un subespacio? ¿Qué tipo de construcciones generan subespacios? ¿Qué tipo de funciones integrables hay? ¿Qué sabes de ellos? Etcétera.
2. Primero asegúrese de entender todo sobre el enunciado del problema antes de tratar de abordarlo. Si no lo hace, regrese y revise lo que ha aprendido. No tiene sentido intentar resolver un ejercicio sobre operadores lineales nilpotentes si no puedes dar un ejemplo de un operador nilpotente y un ejemplo de un operador no nilpotente. Esto solo hará que te detengas y te sientas deprimido.

3. Juega con modelos simplificados. Esto es algo que realmente aprendí en la escuela de posgrado y desearía que me lo hubieran dicho explícitamente mucho antes. Si se enfrenta a un problema que no tiene idea de cómo abordar y se siente paralizado, intente trabajar en un modelo simplificado (incluso trivial). Por ejemplo, supongamos que necesita probar alguna afirmación sobre un mapa lineal$T$en algún espacio vectorial$V$y no tienes idea de que hacer. ¿Puedes resolver el problema si supones además que$V$es unidimensional? Aún mejor, si$V$es de dimensión cero? puedes hacerlo si$T$es diagonalizable? Si se le pide que demuestre algo acerca de una función continua, ¿puede hacerlo si la función es particularmente simple? Di una constante? O uno lineal? ¿O un polinomio? ¿O tal vez puedes hacerlo si asumes que además es diferenciable?

   Aplicar esta idea tiene dos ventajas. Primero, la mayoría de las veces lograrás resolver el problema simplificado (y si no, ¡intenta simplificar aún más!). Esto aumentará tu confianza en ti mismo y te ayudará a sentirte mejor para que no te rindas pronto ante el problema más difícil. Además, la solución del problema simplificado a menudo te dará algunas pistas sobre cómo abordar el problema general. Es posible que pueda realizar un argumento de inducción o identificar qué propiedades necesita usar y luego darse cuenta de que esas propiedades realmente se aplican en un contexto más general, etc.

4. Cuando trabaje en un problema, intente descartar una suposición y ver qué sale mal. A menudo, esto lo ayudará a identificar la propiedad crucial que necesita para resolver el ejercicio y luego puede revisar los teoremas y los resultados que aprendió para ver si realmente se cumple.
5. Trate de tener alguna imagen mental asociada a cualquier objeto y concepto importante que encuentre. De esta forma, cuando trabajes en un problema que involucre varios objetos y conceptos, ya te sentirás familiarizado con ellos y no te detendrás ni te sentirás paralizado. Revise las imágenes a medida que avanza y realice los ajustes necesarios. Por ejemplo, para la noción de una descomposición de suma directa, puede tener en su cabeza la imagen de$\mathbb{R}^3$descompuesto como la "suma" de los$xy$-avión y el$z$-eje. Este es, por supuesto, un ejemplo particular de una descomposición de suma directa, pero te ayuda a sentirte mucho más cómodo con el concepto.
6. Construya un mapa mental (o físico) de relaciones entre varios resultados y conceptos. Por ejemplo, supongamos que desea determinar si una serie converge o no. Es útil darse cuenta de que es más fácil determinar si una serie con términos positivos converge que una serie arbitraria porque hay más pruebas disponibles para este caso. Otra cosa útil para saber es que si la serie converge absolutamente, también converge; entonces, en algunos casos, incluso si la serie no tiene términos positivos, puede reducirla al caso más fácil. Conocer todas esas relaciones y resultados antes de iniciar el problema te ayudará a decidir una buena estrategia para atacar el problema. No conocerlos de antemano a menudo hará que se descarríen.
7. No tengas miedo de escribir algo mal. No dudes en escribir algo que realmente no entiendas. No es tan malo si escribe algo como "Todos los operadores son diagonalizables, por lo tanto$X$" porque una vez que comprenda que no todos los operadores son diagonalizables, inmediatamente verá el error. Pero si escribe un argumento enrevesado de dos páginas que usa en alguna parte el hecho de que su operador es diagonalizable, será mucho más difícil de descubrir y aprender del error.
8. Desarrolla habilidades computacionales decentes. Las matemáticas son lo suficientemente difíciles como para empantanarse en errores de cálculo y aplicaciones incorrectas de técnicas. Por ejemplo, cuando aprenda a resolver un sistema lineal general de ecuaciones, siéntese y resuelva$7$diferentes sistemas Si obtuvo un resultado incorrecto en$5$del$7$casos, algo es sospechoso. Identifica claramente el origen del error en cada caso (¿es un error aritmético? ¿aplicaste mal el algoritmo?). Luego repita con$7$otros sistemas hasta que obtenga al menos$6$correcto.
9. Trate de resolver problemas matemáticos con otras personas. Con eso no me refiero a pedirle a otras personas soluciones a ejercicios que no pudiste resolver. Trate de encontrar a alguien que sea más o menos de su nivel y tenga buenas habilidades interpersonales y de comunicación, y trabaje junto con ellos durante algunos problemas. Sea activo, proponga algunas ideas, escuche las ideas de la otra persona y trabajen juntos. De esta manera, estará expuesto a técnicas que funcionan para otras personas, sus mapas mentales e ideas sobre los conceptos involucrados y podrá adaptar e implementar lo que aprenda como parte de su propio conjunto de habilidades si lo encuentra útil. .

EDITAR: al principio no entendí bien el OP, y la primera mitad de mi respuesta da consejos sobre cómo abordar la prueba de un problema desconocido. Luego relaciono esto con la pregunta organizacional que el OP realmente está haciendo debajo de la línea.

¡Ejemplos, ejemplos, ejemplos! Para mí, casi todas las matemáticas se manejan visualmente y con el ejemplo.

Cada vez que vea un teorema, primero comprométase seriamente a encontrar un contraejemplo. Encuentre casi contraejemplos que muestren por qué cada suposición en el problema es necesaria. Luego, para cada uno de esos casi contraejemplos, encuentre un ejemplo que sea extremadamente similar, excepto que satisfaga la suposición de que faltaba el contraejemplo. Ahora estás listo para demostrar el teorema o leer su prueba y, con toda probabilidad, ya estás cerca de la prueba.

Hay una gran anécdota sobre esto de Keith Kendig sobre Hassler Whitney

Un día en su oficina, mencioné el teorema de Bezout que básicamente dice que dos curvas de grado$m$y$n$respectivamente se cruzan en$nm$puntos. Dice que nunca ha oído hablar de él y parece galvanizado por ello. Salta y se dirige a la pizarra, diciendo "Veamos si puedo refutar eso" ¿ Refutarlo? "¡Espera un minuto!" Digo, "¡ese teorema tiene casi dos siglos de antigüedad! No puedes refutar nada... de verdad..." Mientras comienza a trabajar en algunos contraejemplos en la pizarra, veo que mis bien intencionadas palabras son simplemente estáticas.

Sus primeros intentos fueron fáciles de demoler, pero aprendió rápido, y pronto surgieron ideas sobre la línea compleja en el infinito y cómo contar múltiples puntos de intersección. Después de un tiempo se me hizo más difícil justificar el teorema, y ​​cuando preguntó "¿Qué pasa con dos círculos concéntricos?" No tuve respuesta. Argumentó su camino y finalmente encontró los cuatro puntos. Finalmente quedó satisfecho, y se le dio un descanso al trozo de tiza. Se alejó de la pizarra y dijo: "Bueno, bueno, eso es todo un teorema, ¿no?".

Creo que principalmente mantuve la calma durante todo esto, pero después de salir de su oficina me di cuenta de que estaba bastante conmocionado. Recuerdo haber pensado para mí mismo. "¡Dios, Kendig, acabas de ver cómo lo hace uno de los gigantes!" Llevó el teorema a la lona, ​​luchó con él y el teorema ganó. Conocía ese resultado desde hacía al menos dos años, pero en 15 o 20 minutos él había obtenido una apreciación más profunda que nunca. En retrospectiva, representó un punto de inflexión para mí: comencé a pensar en ejemplos, ejemplos, ejemplos. Whitney trabajó encontrando un ejemplo que contenía el quid de un problema y luego trabajó sin descanso en él hasta que lo descifró.

Hacer matemáticas con el ejemplo me ha enseñado a sentir la forma de un teorema, a dividir naturalmente los objetos matemáticos en colecciones en función de cómo el teorema los divide en "ejemplos" y "no ejemplos" y esas líneas que dibuja el teorema te muestran cómo para demostrar el teorema. Esto también lo ayudará enormemente a recrear la prueba en el futuro.

Pensar en el teorema desde la "dirección equivocada" te enseñará a pensar de maneras inusuales y te ayudará a falsificar conjeturas y suposiciones más fácilmente. Las personas tienen un fuerte sesgo hacia la búsqueda de la confirmación de los hechos, pero les cuesta recordar buscar la refutación. Esto puede dificultar la comprensión de los teoremas, porque$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$te dice muchísimo más sobre la naturaleza de la descomposición en factores primos que$\mathbb{Z}$hace. Hay una cita famosa sobre la importancia de este tipo de pensamiento sobre el filósofo y lógico Wittgenstein ( fuente ):

Dime", le preguntó Wittgenstein a un amigo, "¿por qué la gente siempre dice que era natural que el hombre supusiera que el sol giraba alrededor de la tierra en lugar de que la tierra giraba?"

Su amigo respondió: "Bueno, obviamente porque parece que el Sol gira alrededor de la Tierra".

Wittgenstein respondió: "Bueno, ¿cómo habría sido si hubiera parecido como si la Tierra estuviera girando?

Aquí hay un enlace de MathOverflow sobre contraejemplos para conocer y amar.

Ahora, para vincular esto con las preguntas reales en el OP:

Por ejemplo, ¿tiene dos hojas de papel separadas para resultados intermedios y para detalles?

Eso depende del flujo de la prueba. Soy un gran aficionado a las pizarras y, a menudo, esbozo mis pruebas y mis ejemplos en pizarras antes de escribirlos en papel (o TeX, más comúnmente). Si probar un resultado intermedio interrumpe seriamente el flujo de la prueba (que tiende a significar "requiere más de un párrafo"), entonces en mi boceto de prueba simplemente escribiré "por Lema de relleno" o lo que sea y luego probaré el "Lema de relleno" en un panel diferente de la pizarra. Esto es en gran medida porque quiero poder ver mis ejemplos y el boceto de prueba sin atascarme en la combinatoria de este lema que estoy usando. En la redacción real de la prueba, aprender a organizar correctamente sus "digresiones" es una parte muy importante del aprendizaje de la escritura académica, pero es muy contextual.

¿Existen formas específicas de organizar sus derivaciones en papel o en cuadernos que ayuden a despejar su mente?

Para mí, el proceso de diseñar una prueba (y, de hecho, pensar en general) es como una conversación. Creo un interlocutor en mi mente y discuto con él. Los guío a través de ejemplos y no ejemplos, explicando por qué en cada caso el teorema se cumple o falla. Encuentro que hacerlo me ayuda a concentrarme en la similitud entre los ejemplos y encontrar el hilo lógico subyacente que contiene la "razón real" por la que el teorema es verdadero. Puedo dibujar diagramas o hacer algunos cálculos en papel si puedo encajarlos en mi cabeza, pero generalmente no empiezo a escribir la prueba hasta que sé lo que va a pasar. En ese momento, trazo algunos ejemplos que han sido particularmente esclarecedores y que pueden guiar mi pensamiento en una pizarra. Por lo general, se trata de algunas imágenes y ecuaciones, las ecuaciones escritas con las imágenes, y cada ejemplo separado en el espacio. Luego me siento en algún lugar donde pueda ver toda la pizarra y empiezo a escribir.

¿Escribe todo linealmente, de arriba abajo en su cuaderno, o va de un lado a otro en su papel borrador, y solo lo escribe linealmente cuando ha encontrado el resultado?

Como mencioné, clasifico mis pensamientos por ejemplo, siendo cada ejemplo una explicación de por qué el teorema es verdadero para ese ejemplo. Tiendo a separar los ejemplos horizontalmente y organizar su explicación verticalmente (especialmente para problemas con muchas fórmulas) o circularmente (especialmente para problemas con muchos gráficos). Sin embargo, no me preocupo demasiado por la disposición de mi pizarra, y simplemente coloco las cosas "donde obviamente encajan".

¿Eliminas las fórmulas por completo si cometiste un error y vuelves a empezar, o simplemente corriges las fórmulas?

Prefiero trabajar en una pizarra y borrar errores y corregirlos. En particular, evito cortar o usar otras marcas para indicar que un término es incorrecto, porque mis ecuaciones suelen estar junto a flechas y otras marcas que indican cómo encajan, y uso tachaduras para indicar cancelación.

¿Escribes derivaciones rápidamente en un cuaderno de apuntes, hasta que encuentras la respuesta final, o las escribes ordenadamente de principio a fin?

Mi letra no es tan nítida y, por lo general, uso TeX el final. Si es legible para mí (y cualquier colaborador), eso es todo lo que se necesita para el trabajo de borrador.

Todos se confunden cuando aprenden un tema nuevo, así que no te desanimes si no aprendes las cosas de inmediato. Mi consejo sería: en lugar de dejar que la confusión lo asuste, aproveche su confusión al máximo.

Hay muchos tipos diferentes de confusión. A veces puede ser solo una especie de confusión general sobre un tema; esto podría indicar que necesita volver a leer el libro de texto porque no recuerda los detalles.

Pero hay otro tipo de confusión, que es potencialmente útil. A menudo tendrá algún tipo de disonancia cognitiva . Es decir, estás aprendiendo algo nuevo, pero no concuerda con tu comprensión actual. Algo no se siente bien . Una diferencia entre un estudiante excelente y uno mediocre es que el estudiante excelente simplemente se negará a dejar ir este sentimiento hasta que se resuelva. Es muy fácil aceptar lo que acaba de aprender, incluso si no tiene sentido para usted. Pero si siente este tipo de disonancia cognitiva, significa que algo está mal en su comprensión, ya sea del material anterior o de lo que está aprendiendo actualmente.

El truco es poder identificar con precisión cuál es el problema. Al principio lo que puedes sentir es solo una emoción, una vaga incertidumbre. Pero esta incertidumbre puede ser significativa. Si duplica esto y sigue pensando en ello, eventualmente surgirán algunas preguntas más concretas. Está bien no tener la respuesta de inmediato; lo importante es agudizar la confusión en una pregunta muy precisa. Esto a menudo implica eliminar todos los detalles extraños que rodean su pregunta y centrarse solo en dónde está precisamente el problema. Si tiene un problema con un teorema o una idea muy general, trate de encontrar un ejemplo específico y concreto que demuestre el problema.

Una vez que haya canalizado la confusión en una pregunta muy específica, a menudo encontrará que la respuesta no es tan difícil como pensaba. Si no se te ocurre después de pensarlo un poco, deberías preguntarle a un compañero de clase, instructor o asistente técnico, o preguntar aquí en Stack Exchange. En términos generales, creo que los profesores aprecian recibir preguntas muy bien formuladas que muestren que el estudiante ha pensado mucho en ellas.

Es posible llevar esto demasiado lejos, atascándose en problemas menores en lugar de continuar con el material. A veces es necesario presentar una pregunta para que pueda continuar con su estudio. En ese caso, mi consejo sería que escriba su confusión y recuerde volver a ella más tarde. A veces solo necesitas dar un paseo o dormir en él. Canalizar la confusión en una pregunta significativa es una habilidad difícil que requiere tiempo y práctica.

Editar:

Aquí hay una ilustración del proceso. Muchos estudiantes en realidad no pasan del Paso 3 al Paso 4. (Caricatura de Fan Wei, que se encuentra en la página de Combinatoria enumerativa de Richard Stanley ).

Tuve una conversación con un amigo mío que en un momento sintió lo mismo acerca de escribir. Si bien nunca podría esperar hacer su punto de vista 100% justo, puedo intentar explicar cómo conquistó su situación con la escritura y cómo lo ayudó a crecer matemáticamente. Hay algunas advertencias. Por ejemplo, sin saber cómo se comparan tú y él en habilidad matemática (ahora te comparas con él entonces), no puedo decir con seguridad si este consejo te será útil. También puede descubrir que lo que funcionó para él no funciona para usted. Considero a mi amigo como una de las personas más disciplinadas que conozco, por lo que tiene bastante tiempo en su día para dedicarlo a las matemáticas y al pensamiento, donde personalmente me sentiría cansado por el día.

Dicho esto, la posición de mi amigo era más o menos la siguiente: el arte de aprender es un arte perdido. En un momento de nuestra historia, aprendimos primero memorizando. Ahora, memorizar tiene un poco de estigma asociado, como si no fuera un aprendizaje real. Esto es cierto, si lo único que haces es memorizar. Hay muchos estudiantes en las escuelas en estos días que han memorizado una gran cantidad de teoremas que no entienden prácticamente nada, permítanme decir que esto no es lo que defiendo. Sin embargo, lo que es cierto es que tener una gran clase de teoremas y demostraciones que hayas memorizado será la base de tu habilidad matemática.

Cuando mi amigo quiso aprender a escribir, tuvo un problema similar. Su escritura estaba desorganizada y reflejaba una cierta cantidad de falta de objetivos. Descubrió que sin un propósito claro o una audiencia objetivo para quién escribir, su escritura sufriría mucho. También fue su experiencia que aunque sabía cómo componer oraciones, no sabía cómo ser un buen escritor, ni siquiera cómo mejorar realmente.

La solución que se le ocurrió fue empezar por copiar. Aprendería a escribir primero por imitación, como se aprende a tocar un instrumento. Antes de componer una obra maestra, aprenden las obras de otros maestros por dentro y por fuera, y aprenden de sus estilos. Encuentre un pasaje de un texto que le haya hablado y simplemente cópielo palabra por palabra. Léalo en voz alta de varias maneras diferentes, encuentre la voz con la que se escribió el pasaje. Luego, cuando las oraciones comiencen a adherirse a tu cerebro, trata de resumir la pieza. Trate de volver a expresar los mismos pensamientos en sus propias palabras.

Al principio, cuando haces esto, las cosas que copias y tus resúmenes serán de mala calidad. Tendrán poca información adicional (aunque es posible que encuentre en sus resúmenes cosas que en realidad no entiende sobre el pasaje, y esto es muy importante tanto en escritura como en matemáticas), y sonarán bastante secos. Pero si haces esto con muchos autores y muchos pasajes, desarrollarás lo que puedo describir mejor como gusto por la escritura. Aprenderá ciertos tipos de cosas que suenan bien en su oído, y esta será su voz para escribir.

Así es también aprender matemáticas. Empiezas copiando y reproduciendo pruebas una y otra vez hasta que las tienes memorizadas. A muchas personas les gusta hacer algunas de las cosas descritas en la respuesta de levap, como descartar hipótesis. Cuando reproduzca las pruebas, intente completar la prueba con algo de prosa sobre lo que está haciendo y por qué, como si estuviera dando una conferencia. De manera similar, esta es su voz matemática, y aprender a escribir matemáticamente no es tan diferente de escribir prosa, incluso si los estilos pueden ser diferentes.

Personalmente, encuentro increíblemente útil escribir sobre matemáticas para ayudarme a procesar las ideas. Encuentro que la escuela de posgrado no me da el tiempo que me gustaría escribir todo lo que haría de otra manera. Por supuesto, uno no puede escribir un libro sobre cada tema en el que toma una clase, pero cuando me aventuro en mi propia dirección, encuentro útil escribir notas con mi voz matemática, completando las cosas lo mejor que puedo.

De todos modos, siento en cierto sentido que no he respondido al 100% a su pregunta. Supongo que lo que realmente pretendo aquí es que el proceso de memorizar -> explicar es un proceso fundamental para aprender matemáticas. Te equipará con herramientas para decir lo que tienes en mente, lo que parece ser algo con lo que estás luchando, y también te ayudará a mejorar tu escritura matemática. Así que diré que tanto como el tiempo lo permita, debe tratar de reproducir pruebas, al principio palabra por palabra, pero eventualmente en su propia voz, y tal vez incluso pueda dar pruebas alternativas usando su intuición recién refinada.

He notado que desde que comencé a interesarme mucho en las matemáticas (el año pasado cuando tomé mis secuencias de álgebra y análisis), mis habilidades con la lógica también han crecido. Entonces, creo que la práctica de tomar los hechos al pie de la letra y ver el problema de la manera más simple posible sin duda ha ayudado mucho. En general, si eres capaz de explicar el problema a alguien que tiene poca experiencia en matemáticas, entonces entiendes sinceramente el problema por ti mismo.

¡También disfruto dibujar 'imágenes inspiradoras' para los problemas! Creo que esto va junto con tratar de entender el problema en su forma más simple.

Esta es una pregunta realmente excelente, que es probable que obtenga muchas respuestas variadas. Esto es lo que me he puesto a hacer que me ayudó en el camino para obtener mi licenciatura, así como en mis propios esfuerzos de investigación.

Un pequeño consejo que recibí de uno de mis profesores en mis primeras clases de matemáticas avanzadas que tuve (tomé un nivel 300 con él, luego una serie de 2 términos de 400 niveles sobre álgebra lineal y multilineal con el mismo profesor): Conozca las definiciones . Si hay algo que vale la pena memorizar prácticamente de memoria de su texto de matemáticas, son las definiciones de las cosas, porque si no sabe la definición de la cosa, ¿cómo puede esperar resolver un problema relacionado con esa cosa? (¡Esto es especialmente importante para las pruebas de libro cerrado, que son comunes en el plan de estudios de matemáticas!)

Una cosa que tomé cada vez más en serio cuanto más estudiaba matemáticas: no se conforme con una comprensión "a medias" de un resultado o argumento, siga interrogando el argumento hasta que lo comprenda por completo . (Lo mismo se aplica a todas y cada una de las partes de una definición, recuerdo vívidamente hacer un esfuerzo no trivial para entender por qué la definición de la topología del cociente contenía un iff en lugar de solo una implicación en parte de ella. Eventualmente descubrí por qué, y más tarde, al final del trimestre, cuando estábamos repasando para nuestro examen final el material que otra persona había preparado, descubrí un error que el resto de la clase e incluso nuestro profesor pasaron por alto debido a la comprensión de esa sutileza en la definición de la topología del cociente; ¡los detalles importan!)

Pregunte "qué pasaría si" tanto como sea posible: esto es realmente útil para comprender las definiciones, así como las razones de las suposiciones en las declaraciones de teoremas. Llega a un principio general que ya es un tema recurrente en lo que he dicho: 'por qué es siempre la pregunta más importante' Si no puedes responder a la pregunta por qué, todavía no la entiendes (es fácil saber algo sin entenderlo).

Para abordar el apéndice agregado por el OP: lo que encontré útil cuando trabajaba en la tarea cerca del final de mi licenciatura fue trabajar primero en una pizarra, armando un "esqueleto" de lo que eventualmente se convertiría en mi prueba completa y rigurosa. de lo que iba a mostrar. Después de colocar un esqueleto en su lugar, dejando espacio entre líneas porque probablemente lo necesitaría pronto, volvía a revisar mi esqueleto y desarrollaba cada parte del argumento, completaba todos los detalles y lo refinaba de esta manera hasta que Estaba completamente satisfecho de que mi prueba usaba solo resultados que estaba seguro de que eran ciertos (por lo general, si no eran triviales, hacía referencia explícita al teorema o lo mostraba en detalle) y que la lógica de mis argumentos no hizo saltos, ni suposiciones implícitas o accidentales. , y era completamente correcto y válido.

Las matemáticas son complejas, ya veces muy difíciles, y los detalles importan, por lo que es importante acostumbrarse a ser escrupulosamente atento cuando se trabaja en matemáticas, y también a ser gratuitamente minucioso. (Es un buen hábito verificar su trabajo a medida que avanza, y una vez que cree que puede haber terminado, es sorprendente lo fácil que es pasar por alto un simple error aritmético en medio de una prueba complicada, y puede estar casi seguro de que tal error terminará importando más adelante en el argumento).

No creo que esto se haya mencionado en ninguna de las otras respuestas:

Ser paciente

Cuando me encuentro con un problema no trivial, trabajo duro en él durante unas horas. Si no lo resuelvo de inmediato, lo dejo por un día y vuelvo a él más tarde. Esto me permite verlo con ojos frescos, lo que siempre me ayuda y, a veces, termino "resolviéndolo" cuando ni siquiera estoy trabajando en ello, supongo que mi subconsciente no lo guarda.

Si toma más de unos pocos días, repita este proceso. No te estreses por tomarte un tiempo, las matemáticas no son una carrera.

bueno, durante mucho tiempo enfrenté un problema similar al tuyo, pero ahora está casi resuelto.

Por ejemplo, ¿tiene dos hojas de papel separadas para resultados intermedios y para detalles?

cuando quiero resolver una pregunta principalmente, primero escribo mi idea y la solución probable a la pregunta en una hoja de papel y después de asegurarme del plan, comienzo a escribirla en mi papel principal, libro de texto, etc. y en este paso Hago los cálculos porque muchos problemas matemáticos no se tratan solo de poner un número en una fórmula.

¿Existen formas específicas de organizar sus derivaciones en papel o en cuadernos que ayuden a despejar su mente?

bueno, hay un método que me ayudó mucho, especialmente en muchos problemas difíciles después de que me decepcioné al resolver la pregunta. Tengo una pequeña pizarra y empiezo a resolver el problema allí y también trato de explicarme la solución en voz alta, es un poco divertido pero ayuda. Y también mientras trabajo en papel cuando llego a algún resultado importante que me ayudará en el última solución, dibujo un círculo y le pongo un número para evitar olvidarlo (incluso mis maestros hacen esto).

¿Eliminas las fórmulas por completo si cometiste un error y vuelves a empezar, o simplemente corriges las fórmulas?

Por lo general, vuelvo atrás y empiezo de nuevo porque, a veces, cambiar un número puede cambiar muchos factores que es posible que no reconozca primero y puede dar lugar a respuestas incorrectas.

¿Escribes derivaciones rápidamente en un cuaderno de apuntes, hasta que encuentras la respuesta final, o las escribes ordenadamente de principio a fin?

a veces ni siquiera llego a la respuesta en mi papel de borrador y solo trato de identificar la idea detrás de la pregunta para que mi lucha en el papel de borrador solo pueda ser leída por mí mismo, lo que a veces me pone en problemas, así que te recomiendo una combinación de no enfocarse en ser prolijo en su papel borrador y solo tratar de encontrar la idea y también no ser tan desordenado que lo meta en problemas. y una última cosa: no tengas miedo de cometer errores los errores deben enseñarnos dónde estamos frente a un problema y después de reconocerlos deben convertirse en una escalera para ayudarnos a ser más profesionales en la resolución de problemas.

No he hecho las siguientes cosas mientras practicaba matemáticas en mi vida (en todos estos 15 años de mi vida), pero considere estos consejos seriamente (y por favor no considere esta respuesta hipócrita 😅)

1. Ten en cuenta lo que tienes y lo que quieres conseguir . Si tiene un sentido claro de su camino, facilitará su camino por delante.
2. Las preguntas y problemas relacionados con los temas deben practicarse regularmente (solía hacerlo, pero no mucho hoy en día). Como dice la gente, 'La práctica te hace perfecto' . Fijarás conceptos en tu mente, si practicas.
3. Aplica esos conceptos que aprendes en algún tema que quieras explorar (en mi caso, estoy usando un poco de cálculo que aprendí de un centro de entrenamiento de entrada en mi búsqueda de una forma general de encontrar ceros de un polinomio de grado$n$[que es, de hecho, algo que no se puede conseguir tan fácilmente]). Cuando sigues usando una herramienta, te acostumbras a ella. El efecto es el mismo que sería en la práctica, pero proporciona felicidad extra si eres capaz de tropezar con algo que no encuentras (o algo que te beneficiará cuando lo necesites).
4. Habla con tus amigos y profesores sobre las cosas en las que terminas mientras haces esos descubrimientos. ¡Por qué, puedes hablar de eso aquí mismo si lo prefieres! (Quiero decir, MSE; hablé de maestros solo porque solía hablar con los maestros que me enseñaron allí en el centro de entrenamiento sobre cualquier cosa adicional que traté de aprender). Las discusiones te ayudan a corregirte donde te equivocas y a confirmar tus pensamientos cuando encuentras algo nuevo (esto no es mucho para calificar como una práctica matemática, pero por supuesto es algo que te beneficiará).