¿La suma de dos expresiones lineales es siempre una expresión lineal?

Hace unas semanas, mi hijo me preguntó por qué el programa automatizado de tareas de matemáticas que usaba la escuela le decía que la suma de dos expresiones lineales no siempre era una expresión lineal. En este punto, nuestras preguntas son para nuestro propio interés despertado por el problema de la tarea. Como alguien que se ocupa principalmente de ecuaciones y no de expresiones, me tomó algunas semanas (estamos ocupados) averiguarlo debido a mi falta de familiaridad con la forma en que se definen las cosas, así que permítanme compartir algunas definiciones antes de preguntarle a mi preguntas.

Expresión

"Expresión es una frase matemática que combina números, variables y operadores para mostrar el valor de algo". No contiene un signo igual. Diferencia entre expresión y ecuación

Les gusta cambiar la palabra evaluar por igual en este contexto para cuando ingresas el valor de una variable y resuelves el problema.

Por ejemplo:

5 X + 4 es una expresión, pero 0 = 5 X + 4 no es.

Lineal

En lugar de tener una definición gráfica/geométrica sobre una línea o de ser de cierta forma de ecuación, el lineal en este caso dice que la potencia de cada variable en la expresión es 1 .

Por ejemplo:

5 X , 5 X + 5 y , 5 X + 2 son todos lineales. 5 X 2 no es lineal.

Las preguntas:

La solución a la respuesta implica lo siguiente. Supongamos que tiene dos expresiones lineales, donde una expresión tiene el valor variable opuesto a la otra expresión (por ejemplo: 5 X + 2 y − 5 X + 2 ), entonces la suma de esas dos expresiones es una constante, y no una expresión lineal, ya que no tienes una variable con una potencia de 1 .

  1. ¿Por qué una respuesta al ejemplo anterior de la suma de las dos expresiones 5 X + 2 y − 5 X + 2 No ser 0 X + 2 en lugar de solo 2 ? haría 0 X + 2 todavía se puede considerar una expresión lineal dadas las definiciones anteriores? Cuando nos ocuparemos de las funciones lineales más adelante, si tiene F ( X ) = 2 , entonces tienes un implícito 0 X ahí. ¿Por qué se considera diferente?

  2. ¿Son estas definiciones de uso común, o es algo generado por un autor/editor en particular? Creo que se supone que se relaciona con el estándar básico común para los grados 6-8 en Expresiones y Ecuaciones, pero no pude averiguar cómo.

  3. ¿De dónde vienen estas definiciones con respecto a qué rama de las matemáticas? Principalmente los he estado buscando en la web.

  4. ¿Dónde se usa esta forma además de en la enseñanza de las matemáticas? ¿Dónde puedo ir para obtener más información sobre cómo se usa y por qué existe?

    Me gustaría poder explicarle a mi hijo dónde, cómo y por qué se usa de esta manera. Si es solo otro de esos pasos de construcción con un giro adicional que se usa en la escuela para llegar al siguiente tema (ecuaciones lineales) y que una vez que supere este año, básicamente puede ignorarlo para usarlo en el resto de las matemáticas, eso es bien también.

  5. Parece que hay una igualdad implícita en esta evaluación. Incluso en los diferentes lugares donde lo veo utilizado en los libros escolares de los niños, los veo hacer uso del signo igual, una vez que hablan de evaluar la expresión. ¿Cuál es la diferencia que se intenta enseñar con la distinción entre evaluación e igualdad en este contexto?

Adiciones basadas en comentarios:

El propio sistema informático proporcionó una declaración, donde se podía cambiar la respuesta si era válida o no. Era de la forma parafraseada "Tu amigo dice que la suma de dos expresiones lineales es siempre una expresión lineal. ¿Tiene razón?" Luego se le dio una declaración en la que podía cambiar la redacción de una declaración que era como la siguiente, nuevamente parafraseada. "Si agrega dos expresiones lineales donde una expresión tiene el valor [variable | constante] opuesto, entonces el resultado de sumarlas [es | no es] una expresión lineal.

Aquí hay un ejemplo donde indicaría que la suma de estas dos expresiones no es una expresión lineal.

  • Expresión 1: 4 X + 2
  • Expresión 2: − 4 X + 2
  • ( 4 X + 2 ) + ( − 4 X + 2 ) ⟹ 2
  • 2 es una constante y, por lo tanto, no es una expresión lineal.

Nunca he visto esta definición particular de lineal utilizada en ningún otro lugar. Estoy más familiarizado con el término lineal como lo describe el comentario de JMoravitz usando el término afín o en las formas de ecuación algebraica y = metro X + b y sus formas relacionadas. Mis preguntas se relacionan con ¿de dónde viene esta definición de lineal y dónde puedo obtener más información al respecto?

¿Puede proporcionar un ejemplo de dos "expresiones lineales" de modo que el sistema no creyera que su suma era lineal? Los sistemas automatizados pueden ser profundamente estúpidos, por supuesto. Habría dicho que "expresión lineal" aquí solo significaba " a X + b para algunos a , b ∈ R ". Tal vez el sistema exige a ≠ 0 ?
Si una expresión lineal se define como "la potencia de cada variable es 1", entonces cualquier constante es (vacuamente) lineal ya que no hay variables. Sin embargo, no creo que esta sea una buena definición, por ejemplo y 2 − y 2 + X no sería lineal bajo esta definición a pesar de ser equivalente a X .
@Jean-ClaudeArbaut De acuerdo, aunque es bastante estándar que los textos de matemáticas elementales se refieran a sistemas como a X + b como lineal. Después de todo, la gráfica de tal función es una línea.
Solo para enfatizar: he visto ejemplos de rigidez absurda de sistemas automatizados. Por ejemplo, incluso si las probabilidades se especifican como decimales en el problema, el sistema rechaza todas las respuestas que no se publican como porcentajes. Llamaría a esas cosas "errores", no intentaría basar buenas matemáticas en ellas.
Aparte, debido a la confusión entre lineal en el sentido de "el gráfico de una línea" y lineal en el sentido del álgebra lineal, verá que el significado del gráfico de una línea se llama en su lugar " afín " para evitar más confusiones en niveles más altos. . Desafortunadamente, los libros de texto de nivel inferior y el público en general aún no se han dado cuenta de la convención.
@Jean-ClaudeArbaut ¡También en inglés! Aunque, como digo, los textos elementales suelen ser bastante descuidados en la distinción.
He marcado esta pregunta como demasiado amplia. Veo al menos tres preguntas aquí: (1) ¿Qué significa que una función sea lineal? (2) ¿Dónde puedo leer sobre esta definición? y (3) ¿Qué dice el núcleo común sobre esto? (1) es casi seguro que tiene una respuesta sobre MSE; (2) podría ser una pregunta razonable aquí, pero probablemente sea mejor preguntar a los Educadores de Matemáticas ; y (3) es definitivamente una mejor combinación para los educadores de matemáticas .
Como un aparte adicional, en términos de lineal desde el sentido del álgebra lineal, F ( X ) = 5 X + 2 no es lineal ( aunque es afín ) ya que no satisface el requisito de que F ( α X 1 + β X 2 ) = α F ( X 1 ) + β F ( X 2 ) , por ejemplo F ( 0 X ) = 2 ≠ 0 = 0 F ( X )
Con respecto a una función lineal, soy consciente de lo que es una función lineal. Estaba más interesado en esta definición alternativa que estaba en uso y de dónde viene. Las múltiples preguntas sobre ese tema apuntan al lector en la dirección correcta de lo que estaba buscando. El Common Core fue solo una referencia que usé en la investigación del tema. No me importa lo que el Common Core tenga que decir al respecto en particular, aparte de cómo se relaciona con la pregunta general. Si cree que matheducators.stackexchange.com podrá manejar mejor la rama de las matemáticas, preguntaré allí.
Siempre sucede que los ejemplos son mucho más útiles que las definiciones, especialmente cuando hay confusión. ¿Puede dar un ejemplo de dos "expresiones lineales" que la máquina dice que suman algo que no es una "expresión lineal"? Apuesto a que un ejemplo aclarará toda la pregunta.

Respuestas (1)

Respuesta corta: la solución proporcionada es incorrecta. La linealidad no debe caracterizarse por "el valor de potencia al que X es elevado".

Una definición precisa depende del contexto: escuela primaria, álgebra I, álgebra lineal en la universidad. Tu argumento sobre las líneas en el plano es el correcto para el grado 6.

Con cualquier definición razonable, la suma de las cosas lineales será lineal.

Para una discusión sobre el signo igual, esto puede ayudar:

¿Qué es exactamente una ecuación?

¿La suma de dos expresiones lineales es siempre una expresión lineal?
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