¿Cuáles son las razones para usar el operador de ordenamiento por tiempo?

La ordenación temporal entra como consecuencia de la definición del hamiltoniano como generador de traslaciones temporales. En la imagen de Schödinger:

$$|\psi(t)\rangle \approx \left(1 - \frac{i}{\hbar} H(t') [t - t'] + \mathcal{O}([t-t']^2)\right) |\psi(t')\rangle,$$ donde la relación se vuelve exacta en el límite como $t-t' \rightarrow 0^+$. Es un ejercicio en la teoría de grupos de Lie para aplicar múltiples traducciones de tiempo, en orden, para obtener: $$|\psi(t)\rangle = \lim_{N\rightarrow \infty} \prod_{j=1}^N\left(1 - \frac{i}{\hbar} H\left(t' + \frac{j}{N}[t-t']\right)\left[\frac{t-t'}{N}\right] \right) |\psi(t')\rangle,$$ que es otra forma de escribir la serie Dyson. Si todos los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan entre sí, entonces la serie de Dyson se convierte en una exponencial ordinaria.

Para reiterar: la ordenación del tiempo simplemente entra naturalmente como un proceso de ir paso a paso desde el tiempo de inicio hasta el tiempo de finalización, un paso a la vez.

Que la función de Green satisface la ecuación:

$$iG(t,t') = \langle T \psi(t) \psi(t') \rangle,$$ sigue como consecuencia de lo anterior y la definición real de la función de Green. La función de Green está definida por las ecuaciones de movimiento de la parte libre de la teoría. Si las ecuaciones libres de movimiento son: $$L \psi(t) = 0,$$ para algún operador diferencial lineal $L$, entonces la definición de $G(t,t')$es: $$L G(t,t') = \delta(t - t').$$ En otras palabras, es la respuesta del $\psi$campo a un impulso unitario (en un punto) en el límite clásico.

Sin embargo, hay más de una función de Green, porque puede agregar cualquier solución a la ecuación homogénea en la región de interés:

$$L G_0(t) = 0,$$ para obtener otra función de Green. Por eso, hay múltiples funciones de Green posibles. Las más utilizadas son la función de Green 'retardada' (causal) que satisface $$G( \mathbf{x}, t; \mathbf{x}', t') = 0$$ cuando sea $( \mathbf{x}, t)$está fuera del cono de luz dirigido hacia adelante con el vértice en $(\mathbf{x}', t')$. La función del verde 'avanzado' es idéntica, con la orientación del cono de luz invertida en la dirección opuesta. El propagador ordenado en el tiempo también se conoce como propagador de Feynman y es simétrico bajo inversión de tiempo.

Ordenar el tiempo es una característica de resolver para$U(t)$como una ecuación integral usando iteraciones sucesivas. No se limita a la mecánica cuántica y alguna versión de ella ocurre en la mecánica hamiltoniana clásica, por ejemplo, en el enfoque de la transformada de Lie para la teoría de la perturbación, como se detalla en

• JR Cary, representante físico. 79 (1981) 129 (sección 2.2)
• La Mecánica Clásica de Ernesto Corinaldesi (apartado 9.2).

Es un truco en la medida en que la solución por aproximación sucesiva es un truco, pero dado que esta es una característica de este tipo de enfoque para resolver para$U(t)$y no se limita a la mecánica cuántica, es poco probable que esté vinculado en algún nivel fundamental a cualquier simetría cuántica. Por supuesto, el giro en QFT es que el ordenamiento temporal para la evolución fuerza un ordenamiento de operadores, vinculando así el ordenamiento temporal de los teoremas estadísticos de espín.