Los artículos de Ryu et al no están muy bien escritos y contienen bastantes errores matemáticos sustantivos (por ejemplo, la clasificación en términos de invariantes topológicos fuertes no es lo mismo que la clasificación de homotopía, a menos que esté en una dimensión muy baja).

Simetrías de desplazamiento

Comencemos con el teorema de Wigner: establece que las simetrías de los sistemas cuánticos son aquellas que conservan las probabilidades de transición y, por lo tanto, se implementan mediante unitarios o antiunitario que conmutan con el hamiltoniano.

Todas las simetrías unitarias de desplazamiento deben reducirse antes de aplicar el esquema Altland-Zirnbauer. Este paso generalmente no se menciona explícitamente en la literatura, pero es esencial. De lo contrario, tiene más de 10 clases distintas, debido a la interacción entre simetrías unitarias, conmutativas y otras. El ejemplo más destacado aquí son las simetrías cristalográficas, para las cuales existe una clasificación, pero eso es mucho, mucho más complicado (que yo sepa, el estado del arte es el trabajo de Shiozaki, Sato y Gomi ).

Las simetrías conmutativas antiunitarias son la otra opción admitida por el teorema de Wigner. Si supone además que cuadran con$\pm \mathbf{1}$, entonces estos son pares ($+$) e impares ($-$) simetrías de inversión de tiempo.

Simetrías anticonmutación

Ahora bien, si se encuentra en un sistema periódico, las simetrías conmutativas le brindan información adicional de las funciones de Bloch asociadas a una banda fija en niveles potencialmente diferentes.$k$vectores Las simetrías de inversión de tiempo típicamente cambian$k \mapsto -k$, y por lo tanto le dan una relación entre$\varphi_n(k)$y$\varphi_n(-k)$.

El siguiente nivel de complicación son las simetrías que relacionan dos bandas o, más generalmente, un número par de bandas entre sí. Las simetrías quirales y de tipo partícula-agujero relacionan funciones de Bloch de una banda$E_n(k)$con la de su pareja simétrica$E_{-n}(k) = - E_n(\pm k)$, es decir, intercambian bandas. Matemáticamente, esto significa que necesitan anticonmutar con el hamiltoniano. (Dado que estos caen fuera del alcance del teorema de Wigner, algunos autores como Zirnbauer los llaman pseudo simetrías, pero no haré esa distinción). Estos tipos de simetrías surgen naturalmente en el contexto de ecuaciones fundamentales (por ejemplo, la ecuación de Dirac tiene un simetría partícula-agujero) o cuando considera modelos de unión estrecha efectivos después de volver a normalizar el nivel de energía cero para caer en medio de un cruce de banda o cruce de banda evitado.

Como antes, las simetrías antiunitarias, anticonmutantes, simetrías de tipo agujero de partícula, vienen en dos sabores, pares e impares dependiendo de si cuadran o no.$\pm 1$. Las simetrías quirales vienen en un solo sabor por si$U^2 = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \vartheta} \, \mathbf{1}$, entonces$U' = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{\vartheta}{2}} U$cuadrados a$+ \mathbf{1}$.

El camino de diez veces

Para resumir, tiene cuatro tipos de simetrías, dos tipos de simetrías conmutativas y dos tipos de simetrías anticonmutantes. Sin embargo, ha reducido todas las simetrías conmutativas unitarias, lo que le deja con tres tipos de simetrías. Las simetrías antiunitarias vienen en dos sabores, pares e impares. Así que tienes 1 caso sin simetrías (clase A), 5 casos de una simetría (quiral, 2x TR, 2x PH) y$2 \times 2 = 4$casos de 3 simetrías (si tiene dos simetrías, entonces el producto es automáticamente la tercera). en general tienes$1 + 5 + 4 = 10$casos. Ese es el Camino de diez veces.

Simetrías de orden superior

Podría preguntarse si podría considerar simetrías más complicadas que "intercambian bandas" (piense en un operador que implementa la permutación de un sistema de tres bandas que mapea 1—>2, 2—>3, 3—>1). Absolutamente, y conozco a algunas personas que están jugando con esta idea. Pero AFAIK no hay una aplicación real para esto en este momento y el esquema existente ya es lo suficientemente complicado, especialmente una vez que agrega simetrías cristalográficas a la mezcla.

Interacción con simetrías cristalográficas

Para terminar, déjame ponerte un ejemplo de cómo la “interacción” entre simetrías puede dar lugar a nuevos fenómenos. Considere un sistema periódico bidimensional que posee una paridad y simetría de inversión de tiempo uniforme. Si ignora la paridad, este sistema es topológicamente trivial (es de clase AI, y en$d = 2$solo hay una sola fase). Sin embargo, debido a la presencia de paridad, puede dividir su sistema en contribuciones pares e impares (estados propios a$\pm 1$del operador de paridad). Hay casos en los que la simetría de inversión del tiempo está bloqueada .diagonal con respecto a esta descomposición, es decir, la inversión del tiempo se asigna incluso a funciones impares y viceversa. Este es el caso de los cristales fotónicos cuasi bidimensionales con estructura de panal (investigados por Wu y Hu). ¡Eso significa que la simetría de inversión temporal se rompe en el subespacio par e impar! Dicho de otra manera, puede dividir el sistema de clase AI en dos subsistemas de clase A que están "conjugados con otro". Aquí, los estados de borde aparecen en pares, pero los estados de borde tienen una paridad definida (par o impar). Entonces, si puede excitar selectivamente, digamos, estados con paridad uniforme y solo introducir perturbaciones que preserven la simetría de paridad, entonces sus modos de borde estarán topológicamente protegidos. El número de Chern de paridad par le da el número neto de estados de borde con paridad par; el número de Chern de paridad impar necesariamente tiene que ser igual en magnitud pero tener signo opuesto en comparación con el número de Chern de paridad par. De esta forma el número total de Chern del sistema suma 0, como debería ser para un sistema de clase AI.