Soluciones de ondas gravitacionales a las ecuaciones de campo de Einstein

Por lo general, resolver las ecuaciones de Einstein completas es bastante difícil, por lo que para calcular cosas sobre las ondas gravitacionales, las personas suelen usar la siguiente aproximación

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$ Es decir, se aproximan a la métrica completa$g_{\mu\nu}$como alguna perturbación del espacio-tiempo plano de Minkowski. Esta aproximación se denomina "gravedad linealizada", ya que se utiliza una aproximación lineal de las ecuaciones completas de Einstein para calcular la dinámica de estas pequeñas perturbaciones.$h_{\mu\nu}$. Véase, por ejemplo, el capítulo 7 de Carroll para esto. Trabajando las ecuaciones de Einstein en este régimen uno típicamente encuentra como una solución para$h_{\mu\nu}$de la siguiente forma para una onda 'gravitatoria' que se propaga en el$z$dirección: $$h_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ Ya que la métrica nos da la distancia entre dos puntos$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$vemos que tal onda gravitacional realmente causa un comportamiento que en cualquier experimento sería idéntico a estirar la$x$y$y$direcciones de nuestro espacio-tiempo.

Al igual que una onda electromagnética tiene dos direcciones de polarización perpendiculares a su impulso, una onda gravitacional que se mueve en el$z$dirección también tiene dos polarizaciones, aquí indicadas como$h_+$y$h_\times$. El$h_+$polarización de la onda gravitacional (moviéndose en el$z$dirección) estira y aprieta el espacio-tiempo en el$x$y$y$direcciones. El$h_\times$polarización estira y aprieta el espacio-tiempo en diagonal en el$x$y$y$direcciones

Esta es una aproximación lineal a las ecuaciones de Einstein, lo que significa que estamos despreciando la energía transportada por la onda gravitatoria que distorsionaría la curvatura del espacio-tiempo y causaría más ondas gravitatorias. Cuando descuidamos que las ondas gravitacionales en realidad transportan energía, reaccionan entre sí y crean más ondas gravitacionales. Esta es una aproximación legítima ya que las ondas gravitatorias con una amplitud pequeña (y de longitudes de onda relativamente grandes) transportan muy poca energía. Encontramos que la Relatividad General en este 'régimen lineal' se parece mucho a las ecuaciones de Maxwell (es decir, las ondas electromagnéticas también se atraviesan sin interactuar, decimos que sus ecuaciones son 'lineales').

Las ondas gravitacionales con grandes amplitudes y longitudes de onda muy cortas (altas frecuencias) transportan mucha energía, y ya no podemos descuidar las interacciones entre las ondas gravitacionales de este tipo (o las interacciones entre ellas y las ondas gravitacionales adicionales que ellas mismas podrían emitir). Este autoacoplamiento de las ondas gravitatorias, que cobra cada vez más importancia a mayores energías, hace que las ecuaciones de Einstein sean tan difíciles de resolver y es lo que da lugar a todo tipo de complicaciones, tanto en la GR clásica como en la cuantización de esta teoría. Sin embargo, estudiar una onda gravitatoria por sí sola en el límite de que tiene una longitud de onda larga (y por lo tanto transporta relativamente poca energía) es una aproximación muy legítima de la teoría.