Sistemas hamiltonianos separables en mecánica cuántica

¿Por qué en los problemas hamiltonianos separables la función propia total es igual al producto de las funciones propias individuales, pero los hamiltonianos individuales deben conmutar?

En matemáticas, cuando se utiliza el método de separación de variables, por ejemplo para algunas EDP, se supone que la solución total es producto de funciones de las variables individuales.

Pero, ¿por qué, en mecánica cuántica, los hamiltonianos individuales deben conmutar entre sí para utilizar este método de resolución?

Me refiero por ejemplo al caso del átomo de hidrógeno: después del cambio de variables, se puede escribir el hamiltoniano total como la suma de dos hamiltonianos que conmutan entre sí y la función propia de H es el producto de las funciones propias individuales.

En este caso (coordenadas relativas hamiltonianas de un átomo de hidrógeno 3D en coordenadas esféricas) mi libro solo dice: "Dado que un hamiltoniano central conmuta con L 2 y L z , podemos escribir las soluciones de TISE como: ψ ( r , θ , ϕ ) = F ( θ , ϕ ) R ( r ) . "

Respuestas (2)

Creo que la otra respuesta es (al menos parcialmente) errónea. Permítame primero responder a su pregunta y luego explicar por qué tengo problemas con la otra respuesta.

Suponga que tiene un hamiltoniano de la forma H = H 1 + H 2 , dónde [ H 1 , H 2 ] = 0 . Entonces, desde H 1 y H 2 conmutan, se pueden diagonalizar simultáneamente. Es decir, existe una base propia de la forma | ε 1 , ε 2 ⟩ dónde H 1 | ε 1 , ε 2 ⟩ = ε 1 | ε 1 , ε 2 ⟩ y H 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ = ε 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ . Un estado arbitrario en su espacio de Hilbert se puede escribir en la forma

| ψ ⟩ = ∑ ε 1 , ε 2 C ε 1 , ε 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ ,
pero si su objetivo es solo encontrar estados propios de energía, se le permite asumir que está trabajando en un estado propio común de H 1 y H 2 por separado. Esta es la respuesta completa a tu pregunta. Tenga en cuenta que si H 1 y H 2 no conmutó, entonces no existiría una base propia común, y no sería posible factorizar su función de onda.

Ahora, aquí está el problema con la otra respuesta: no hay razón para suponer que H 1 y H 2 tienen estructura de producto tensorial . La separación de variables funciona incluso cuando el hamiltoniano NO es de la forma H = H 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ H 2 . La diferencia es que cuando H tiene esta estructura de producto tensorial, los valores propios ε 1 y ε 2 se puede elegir de forma independiente, pero no tiene por qué ser así; de hecho, ¡ este no es el caso del átomo de hidrógeno! En el átomo de hidrógeno, los números cuánticos permitidos ( norte , ℓ , metro ) no se pueden elegir todos de forma independiente, por ejemplo ℓ no se permite exceder norte . Esto es indicativo del hecho de que, mientras que el hamiltoniano se divide en dos piezas conmutadas, no tiene la estructura de producto tensorial indicada por la otra respuesta.

¡Tienes toda la razón!
Gracias, pero no entendí la oración "si su objetivo es solo encontrar estados propios de energía, puede asumir que está trabajando en un estado propio común de H1 y H2 por separado". por qué, en este caso, puedo factorizar mi función de onda, que será el producto de la función automática de H 1 veces H 2
Estrictamente hablando, no lo hace. Como ejemplo trivial, considere un hamiltoniano tonto de la forma H = pag → 2 2 metro + ( pag → 2 2 metro ) 2 . Esta es una suma de dos términos de conmutación, pero los estados propios de energía no son productos de los estados propios de los dos, son solo los estados propios habituales de partículas libres.
@Zack, ¿los dos hamiltonianos deben conmutar para que se cumpla la condición necesaria para la existencia de un conjunto de funciones propias comunes?
Permítanme formular la pregunta original de la publicación y mi respuesta una al lado de la otra, para que la lógica sea clara. Pregunta: "Dado un hamiltoniano H = H 1 + H 2 , me gustaría encontrar una base propia simultánea de H 1 y H 2 mediante separación de variables. Porque debe H 1 y H 2 conmutar?" Respuesta: "Porque sólo es posible encontrar una base propia simultánea de H 1 y H 2 si viajan".
@Zack Entonces, el punto es: no necesito que H1 y H2 viajen para aplicar el método de separación de variables, necesito que H1 y H2 viajen porque quiero encontrar una base propia simultánea de H1 y H2. Si quiero usar solo el método de separación de variables (y no estoy buscando una base propia simultánea), solo necesito "separar" la ecuación diferencial total en partes separadas, cada una con solo una variable, no me importa si conmutan y luego buscan una función de solución total que sea el producto de funciones individuales. ¿Tengo razón?

Creo que esto es un error en el lenguaje del libro de texto. La parte importante es que el hamiltoniano se divide en una parte radial y otra angular. H = H r + H Ω de tal manera que para funciones de onda separables ψ ( r , Ω ) = F ( Ω ) R ( r )

H r ( ψ ) = F H r ( R )  y  H Ω ( ψ ) = H Ω ( F ) R .
En particular, esto implica que los dos hamiltonianos viajen al trabajo. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

Un lenguaje matemático muy adecuado para esto es el de los productos tensoriales. Lo que se hace en el átomo de Hidrógeno es encontrar una descomposición del espacio de Hilbert en un producto tensorial H = H 1 ⊗ H 2 en el que el hamiltoniano se descompone en algo de la forma H = H 1 ⊗ 1 2 + 1 1 ⊗ H 2 . Entonces una base de vectores propios de H se puede encontrar tomando el producto tensorial de los vectores propios de H 1 y vectores propios de H 2 . Es una observación al margen de esto que H 1 ⊗ 1 2 y 1 1 ⊗ H 2 conmutan y ciertamente el hecho de que conmutan no garantiza de antemano la estructura del producto tensorial. Por ejemplo, hay operadores de trayectos en C 3 pero este último no admite una descomposición tensorial no trivial. Para ver esto, tenga en cuenta que la dimensión de un producto tensorial es el producto de las dimensiones de sus factores y 3 es un número primo.

Pido disculpas, pero tal vez he planteado mal la pregunta. ¿Por qué si un hamiltoniano central conmuta con L 2 y L z entonces la función de onda total se puede escribir como el producto de una parte radial y una angular?
Lo que mi respuesta está tratando de transmitir es que no es porque el hamiltoniano central conmuta con L 2 y L z que las funciones de onda se pueden escribir de esta manera. En cambio, se debe a que el hamiltoniano se divide en una parte que solo involucra r y una parte que solo involucra las variables angulares.
Esto es también lo que escribí en mis notas, pero no entiendo por qué. Tal vez mi libro está hablando de conmutadores porque si H L 2 y L z conmutan, tienen una base común de vectores propios.
Continuemos esta conversación en el chat chat.stackexchange.com/rooms/133216/…
Iván, creo que tu respuesta está equivocada, mira mi respuesta.
@IvanBurbano gracias por la charla pero se me hizo tarde.
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