¿Por qué la mecánica cuántica no se contenta con operadores simétricos, sino que quiere operadores autoadjuntos?

Estoy bastante seguro de que ya existe una respuesta para esto aquí, pero no puedo encontrarla (siempre se trata de lo ilimitado).

Para el hamiltoniano, la respuesta viene dada básicamente por el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un solo parámetro . Existe una correspondencia biunívoca entre operadores autoadjuntos y familias unitarias de un parámetro fuertemente continuas.

¿Por qué es eso importante? El hamiltoniano es importante porque se supone que nos da la dinámica de nuestro sistema, es decir, definirá el desarrollo temporal del sistema cuántico. Tal desarrollo de tiempo, sin embargo, debe ser un grupo unitario de un parámetro$U(t)$. Esto se debe al hecho de que queremos que se cumpla la regla de Born:

Si$|\psi\rangle\in\mathcal{H}$es un estado en tu espacio de Hilbert, necesitamos que$1=\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle U(t)\psi|U(t)\psi\rangle$, es decir, el estado permanece normalizado de modo que sigue siendo una distribución de probabilidad. Pero entonces$U(t)$debe ser unitario por la definición misma de un operador unitario. Sin embargo, el teorema de Stone nos dice que los generadores de grupos unitarios son operadores autoadjuntos, no solo simétricos. De acuerdo, el teorema habla solo de grupos fuertemente continuos, pero existen ejemplos de operadores simétricos y no autoadjuntos que generan un grupo que simplemente no es unitario (alguna forma de operador para el efecto Stark funciona, si no recuerdo mal)

Otro problema al que se alude en un comentario es el problema con el teorema espectral: dado cualquier observable, su espectro nos dice algo sobre los posibles resultados de la medición, pero es posible que simplemente no tengamos una descomposición espectral, si el operador es simplemente simétrico. Los operadores ilimitados pueden incluso tener espectro vacío, pero no sé si existen operadores ilimitados simétricos con espectro vacío (ciertamente existen operadores antisimétricos con espectro vacío). Si considera una medida de von-Neumann, uno de los axiomas le dice cómo se ve el estado después de la medida: hay una proyección involucrada. Pero esta proyección podría no estar bien definida, si no tiene una descomposición espectral.

También es posible que desee echar un vistazo a lo que se llama "Pseudospectra". Dado un operador no autoadjunto, podría tener "funciones propias aproximadas" a "pseudovalores propios" que están muy lejos del espectro (en el sentido de que dado un operador$A$, existe un$\lambda\notin \operatorname{Spec}(A)$tal que puede haber un$x\in\mathcal{H}$con

y tales cosas pueden existir muy lejos del espectro para cualquier$\varepsilon>0$quieres; ver el libro de Davies sobre "operadores lineales y sus espectros"). No sé mucho sobre esto y cómo esto podría ser un problema, pero esto podría darle más incentivos sobre por qué los operadores simétricos "solo" podrían no hacer el trabajo.

El teorema espectral solo se cumple para operadores normales. Los operadores autoadjuntos son normales, los simétricos no necesariamente lo son.

En lenguaje físico, queremos que los vectores propios generalizados provengan de una 'base completa' del espacio de Hilbert. Por ejemplo, los vectores propios generalizados del operador de cantidad de movimiento en la representación de posición son ondas planas y, aunque no forman parte de nuestro espacio de Hilbert, cualquier función de onda se puede descomponer en una superposición de ondas planas. Esto solo es posible porque el operador de cantidad de movimiento es autoadjunto.