Bessel vs. Bessel modificado en la ecuación radial del hidrógeno

Question

Bessel vs. Bessel modificado en la ecuación radial del hidrógeno

Física
hidrógeno
mecánica cuántica
ecuaciones diferenciales

alexvas

Estoy tratando de entender la diferencia entre las funciones de Bessel y las funciones de Bessel modificadas (simplemente buscar en Google está dando respuestas complicadas y no intuitivas). Tenía la impresión de que uno permitía un parámetro complejo mientras que el otro no, ¿es esto cierto?

Mi pregunta surge de tratar de comprender la parte radial del problema propio del hidrógeno (con $u = rR(r)$ ):

\frac{d^{2} tu}{d r^{2}} = [\frac{yo (yo + 1)}{r^{2}} - k] tu (r)

$\frac{d^2u}{dr^2} = \left[ \frac{l(l+1)}{r^2} - k\right] u(r)$

que se resuelve mediante una combinación lineal de funciones esféricas de Bessel y funciones de Neumann:

tu (r) = A r j_{yo} (k r) + B r {norte}_{yo} (k r)

$u(r) = Ar j_l(kr) + Brn_l(kr)$

¿Esta solución es válida tanto para el real como para el imaginario? $k$ ?

Como referencia, esta combinación lineal es de la Introducción a la Mecánica Cuántica de Griffiths , Ecuación 4.45.

Respuestas (4)

Bessel vs. Bessel modificado en la ecuación radial del hidrógeno

Miguel · Answer 1

Las funciones ordinarias de Bessel están perfectamente definidas para argumentos complejos. Por ejemplo, aquí hay una gráfica de $\Re[J_2(x + i y)]$ :

ingrese la descripción de la imagen aquí

La diferencia entre las funciones de Bessel ordinaria y modificada es que satisfacen diferentes ecuaciones:

z^{2} y^{″} + z y^{'} + (z^{2} - {norte}^{2}) y = 0,

$z^2 y'' + z y' + (z^2 - n^2) y = 0,$

para las funciones ordinarias de Bessel y

z^{2} y^{″} + z y^{'} - (z^{2} + {norte}^{2}) y = 0,

$z^2 y'' + z y' - (z^2 + n^2) y = 0,$

para las funciones de Bessel modificadas.

Tenga en cuenta que existe una relación entre ellos:

j_{v} (z) = \frac{z^{v} I_{v} (i z)}{(i z)^{v}}

$J_{\nu }(z)=\frac{z^{\nu } I_{\nu }(i z)}{(i z)^{\nu }}$

con identidades similares yendo hacia el otro lado. Todo es muy similar a la relación entre las funciones trigonométricas $\sin(z),\cos(z)$ con las funciones hiperbólicas $\sinh(z),\cosh(z)$ .

marty verde · Answer 2

Si quieres saber qué es realmente la función de Bessel, imagina a 360 personas de pie en un círculo de más de 100 metros de diámetro y cantando la misma nota lamda < 1 metro. Cerca del centro del círculo habrá 100 ondas planas convergentes en fase, y la función de amplitud radial será la función de Bessel de orden cero J_0. Si desea ver J_1, haga que cada cantante retrase la fase de su nota sucesivamente en un grado a medida que se mueve alrededor del círculo, de modo que después de recorrer todo el círculo vuelva a estar en fase nuevamente: la amplitud radial será J_1 a lo largo del círculo. línea del primer cantante, y cero a lo largo de la línea que conecta al cantante 90 con el cantante 270. De manera similar, retrasa la fase 2 grados por cantante y obtienes J_2 con dos líneas nodales, etc.

seb · Answer 3

Si planea continuar por este camino, le aconsejo que obtenga una copia del libro Arfken: métodos matemáticos para físicos. Allí (capítulo 14.5, 7ª edición) se explica en detalle la diferencia.

Utiliza la ecuación de Bessel modificada y sus soluciones (las funciones de Bessel modificadas) cuando trabaja en coordenadas cilíndricas. Para llegar a la ecuación de Bessel modificada, separas la(s) ecuación(es) de Laplace (o Helmholtz) en coordenadas cilíndricas y llegas (en algún punto) al cambio de signo mencionado por Michael.

Ahora bien, este cambio de signo es bastante importante, porque cambia el comportamiento de las soluciones de la ecuación de Bessel modificada (en comparación con las soluciones de la ecuación de Bessel (no modificada). Las soluciones a la ecuación de Bessel modificada (es decir, las funciones de Bessel modificadas ) NO son oscilatorias. Y muestran un comportamiento exponencial.

Pablo Cwave · Answer 4

En pocas palabras: las funciones de Bessel son oscilatorias. Las funciones de Bessel modificadas son monótonas (y se parecen a las envolventes de las funciones de Bessel).

AMBOS se derivan de la MISMA ecuación diferencial. La ecuación de Bessel modificada es la misma que la ecuación de Bessel, pero con un argumento imaginario puro.

Ecuación de Bessel:

z^{2} \frac{d^{2} tu}{d z^{2}} + z \frac{d tu}{d z} + (z^{2} - {norte}^{2}) tu = 0

$z^2 \frac{d^2u}{dz^2} + z \frac{du}{dz} + (z^2 - n^2) u = 0$ Con soluciones como

J_{n} (z)

$J_n(z)$ (solución oscilatoria en descomposición), o

Y_{n} (z)

$Y_n(z)$ (solución oscilatoria creciente)

Ahora reemplaza $z = ix$ y obtendrás la ecuación de Bessel modificada:

X^{2} \frac{d^{2} tu}{d X^{2}} + X \frac{d tu}{d X} - (X^{2} + {norte}^{2}) tu = 0

$x^2 \frac{d^2u}{dx^2} + x \frac{du}{dx} - (x^2 + n^2) u = 0$ Aquí

J_{n} (i x)

$J_n(ix)$ es también una solución, pero toma valores reales o imaginarios dependiendo de

n

$n$ (real incluso para

n

$n$ , imaginario para impar

n

$n$ ). Para evitar este inconveniente, la función de Bessel modificada

I_{norte} (X) = {mi}^{- norte i π / 2} j_{norte} (i X)

$I_n(x) = e^{-ni\pi/2}J_n(ix)$ se introduce, que es real sin importar el valor de

n

$n$ .

$I_n$ es la creciente y monótona solución, mientras $K_n$ es la solución monótona y decadente.

En tu caso, tener un argumento imaginario en tu solución no es un problema en lo que a la función se refiere, pero ojo con las complicaciones de tratar con una función de Bessel con argumento complejo, porque puede volverse real/imaginaria dependiendo de los valores de $l$ .

Bessel vs. Bessel modificado en la ecuación radial del hidrógeno

alexvas

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Miguel

marty verde

seb

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