¿Qué tan generales son los teoremas de Noether en la mecánica clásica?

Question

¿Qué tan generales son los teoremas de Noether en la mecánica clásica?

Física
teorema de noethers
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

DLV

Estoy revisando las derivaciones de los teoremas de Noether y tengo varias críticas sobre cómo se presentan en fuentes populares (tenga en cuenta que aquí solo me estoy refiriendo a la mecánica clásica y no me interesan los teoremas en el contexto de la teoría de campo). Mis comentarios se presentan a continuación:

El hamiltoniano se define como $H=\sum \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L$ . No entraré en detalles, pero se puede demostrar que si la energía potencial solo depende de coordenadas generalizadas (y no de velocidades) y si la energía cinética es una función cuadrática homogénea de $\dot{q}_i$ entonces el hamiltoniano es la energía total.

El hecho $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ sólo implica directamente que $\frac{d}{dt}H=0$ y nada más. Así que mi crítica es: no podemos decir en ningún sentido absoluto que la simetría de traducción del tiempo implique conservación de la energía; solo podemos decir que implica la conservación del hamiltoniano, que puede o no ser la energía total de acuerdo con las condiciones que publiqué anteriormente

Por otro lado, a menudo se dice que si existe una simetría de traslación espacial con una determinada variable, entonces se conserva el momento conjugado. Y esto se muestra simplemente por:

si $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0$ entonces $\frac{d}{dt}p_{{q}_i}=0$ .

Pero esto solo es válido siempre que el potencial sea independiente de las velocidades, a menos que acepte $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = P_{q_i}$ incluso cuando los potenciales son dependientes de la velocidad

Entonces, ¿dónde estoy metiendo la pata aquí? ¿Son mis afirmaciones verdaderas pero, sin embargo, inútiles ya que todos los potenciales en el universo son independientes de la velocidad (lo que creo que es falso)? ¿Es siempre posible encontrar un sistema de coordenadas para el cual $H=E$ ?

Gracias.

una mente curiosa

No estoy muy seguro de lo que estás hablando. El teorema de Noether es el enunciado extremadamente general de que toda simetría tiene una ley de conservación correspondiente, y el teorema da la forma general de la corriente conservada. No dice que el hamiltoniano sea siempre la energía. Asimismo, el impulso

p_{i}

$p_i$ correspondiente a una coordenada

q^{i}

$q^i$ se define como

\partial L / \partial {\dot{q}}^{i}

$\partial L / \partial\dot{q}^i$ , no estoy seguro de por qué afirma que esto solo sería válido para potenciales independientes de la velocidad.

DLV

Sí, podría ir por definición (con los momentos generalizados), pero estaba hablando sobre el sentido más concreto de momento donde (si tuviéramos coordenadas cartesianas)

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ si y si

\frac{\partial U}{\partial \dot{x}} = 0

$\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .

curioso

Para un sistema mecánico la energía total es la dada por el hamiltoniano por definición. Si hay otro término de energía que rompe la simetría (y hay muchos de esos términos en situaciones reales), entonces simplemente ha cometido un error al formular los límites del sistema.

DLV

Por otro lado, estoy hablando de las derivaciones de la relación que tiene la simetría con las leyes de conservación en la mecánica clásica (es decir, me refiero a sistemas de partículas). Estoy ignorando por completo el caso de los campos.

DLV

La definición del hamiltoniano no es

H = T + V

$H=T+V$ en mi libro. Así que no creo que la energía sea la hamiltoniana por definición. Mi libro es la Dinámica clásica de partículas y sistemas de Thornton y Marion.

DLV

¿Debería publicar las derivaciones de las que estoy hablando para que mi pregunta sea más clara? Supongo que podrían reducirse a 3 o más líneas.

una mente curiosa

Si estás hablando del concreto

T + V

$T+V$ como "energía" y lo concreto

p = m \dot{q}

$p = m\dot{q}$ para casos especiales, entonces todavía no sé cuál es tu pregunta ya que el teorema de Noether no afirma que

T + V

$T+V$ o

m \dot{q}

$m\dot{q}$ se conservan. Es

H

$H$ y

p_{i}

$p_i$ en su definición usual que son las cantidades conservadas asociadas a traslaciones de tiempo y coordenadas, respectivamente.

curioso

Un hamiltoniano invariante en el tiempo puede no ser la definición completa de un sistema físico real (piense en los grados de libertad termodinámicos). En ese caso, Noether no hará el trabajo, por supuesto. ¿Por qué lo haría?

DLV

Supongo que podría tener falta de conocimiento entonces ya que no sabía

T + V

$T+V$ no siempre fue la energía total. Estoy de acuerdo con el estado de los teoremas.

H

$H$ y

p_{i}

$p_{i}$ son cantidades conservadas. Supongo que el quid de mi confusión es que los teoremas de Noether se refieren a otro tipo de impulso y otro tipo de energía diferente de las nociones de impulso y energía que podría tener un principiante.

qmecanico

Comentario a la pregunta (v1): El corazón de la pregunta es sobre el formalismo lagrangiano (en oposición al formalismo hamiltoniano). Introducir el formalismo hamiltoniano y la posible transformación singular de Legendre es irrelevante y ofusca el asunto. Suponiendo que esto es puramente una pregunta lagrangiana, entonces lo que OP llama

H

$H$ y

p

$p$ son entonces definiciones lagrangianas de energía y cantidad de movimiento, respectivamente. Por lo general, se denominan función de energía lagrangiana y momento canónico/conjugado lagrangiano, respectivamente. No corresponden necesariamente a otras definiciones de energía y cantidad de movimiento.

Michael Seifert

Para un caso en el que se conserva el momento canónico pero no el momento mecánico, es posible que desee ver el caso de una partícula cargada en un campo magnético bajo el formalismo lagrangiano. En tal caso, es bastante obvio que

m \dot{v}

$m \dot{v}$ no debería ser una constante, pero aún se puede conservar el momento conjugado. Hay una buena discusión de esta configuración en "Pensamientos sobre el potencial del vector magnético" (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Vol. 64, p. 1361).

Respuestas (2)

¿Qué tan generales son los teoremas de Noether en la mecánica clásica?

No estoy muy seguro de lo que estás hablando. El teorema de Noether es el enunciado extremadamente general de que toda simetría tiene una ley de conservación correspondiente, y el teorema da la forma general de la corriente conservada. No dice que el hamiltoniano sea siempre la energía. Asimismo, el impulso $p_i$ correspondiente a una coordenada $q^i$ se define como $\partial L / \partial\dot{q}^i$ , no estoy seguro de por qué afirma que esto solo sería válido para potenciales independientes de la velocidad.
Sí, podría ir por definición (con los momentos generalizados), pero estaba hablando sobre el sentido más concreto de momento donde (si tuviéramos coordenadas cartesianas) $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ si y si $\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .
Para un sistema mecánico la energía total es la dada por el hamiltoniano por definición. Si hay otro término de energía que rompe la simetría (y hay muchos de esos términos en situaciones reales), entonces simplemente ha cometido un error al formular los límites del sistema.
Por otro lado, estoy hablando de las derivaciones de la relación que tiene la simetría con las leyes de conservación en la mecánica clásica (es decir, me refiero a sistemas de partículas). Estoy ignorando por completo el caso de los campos.
La definición del hamiltoniano no es $H=T+V$ en mi libro. Así que no creo que la energía sea la hamiltoniana por definición. Mi libro es la Dinámica clásica de partículas y sistemas de Thornton y Marion.
¿Debería publicar las derivaciones de las que estoy hablando para que mi pregunta sea más clara? Supongo que podrían reducirse a 3 o más líneas.
Si estás hablando del concreto $T+V$ como "energía" y lo concreto $p = m\dot{q}$ para casos especiales, entonces todavía no sé cuál es tu pregunta ya que el teorema de Noether no afirma que $T+V$ o $m\dot{q}$ se conservan. Es $H$ y $p_i$ en su definición usual que son las cantidades conservadas asociadas a traslaciones de tiempo y coordenadas, respectivamente.
Un hamiltoniano invariante en el tiempo puede no ser la definición completa de un sistema físico real (piense en los grados de libertad termodinámicos). En ese caso, Noether no hará el trabajo, por supuesto. ¿Por qué lo haría?
Supongo que podría tener falta de conocimiento entonces ya que no sabía $T+V$ no siempre fue la energía total. Estoy de acuerdo con el estado de los teoremas. $H$ y $p_{i}$ son cantidades conservadas. Supongo que el quid de mi confusión es que los teoremas de Noether se refieren a otro tipo de impulso y otro tipo de energía diferente de las nociones de impulso y energía que podría tener un principiante.
Comentario a la pregunta (v1): El corazón de la pregunta es sobre el formalismo lagrangiano (en oposición al formalismo hamiltoniano). Introducir el formalismo hamiltoniano y la posible transformación singular de Legendre es irrelevante y ofusca el asunto. Suponiendo que esto es puramente una pregunta lagrangiana, entonces lo que OP llama $H$ y $p$ son entonces definiciones lagrangianas de energía y cantidad de movimiento, respectivamente. Por lo general, se denominan función de energía lagrangiana y momento canónico/conjugado lagrangiano, respectivamente. No corresponden necesariamente a otras definiciones de energía y cantidad de movimiento.
Para un caso en el que se conserva el momento canónico pero no el momento mecánico, es posible que desee ver el caso de una partícula cargada en un campo magnético bajo el formalismo lagrangiano. En tal caso, es bastante obvio que $m \dot{v}$ no debería ser una constante, pero aún se puede conservar el momento conjugado. Hay una buena discusión de esta configuración en "Pensamientos sobre el potencial del vector magnético" (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Vol. 64, p. 1361).

Físico137 · Answer 1

Por lo que veo, quizás el problema sea de energía. Entonces, ¿Qué es la energía?

La definición formal clásica de energía es: La energía es una invariante dinámica de un sistema que proviene de la simetría de traslación del tiempo. También hay una pregunta aquí al respecto. Si quieres más referencias al respecto, házmelo saber.

Así que... cuando Bob escribe, $E = T + V$ en sistemas disipativos (OHS amortiguado, por ejemplo), Bob está formalmente equivocado, porque la cantidad $E$ claramente varía con el tiempo, por lo que no es un invariante dinámico, por lo que no puede ser la energía de este sistema.

Además, dijiste que:

\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d H}{d t}

$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dH}{dt}$

Eso no prueba el Teorema de Noether. Eso solo indica cuando $H$ se conserva La demostración completa del Teorema de Noether tiene que ver con el principio de acción mínima. Cuando tomas la acción $A$ , y hacerlo variar infinitesimalmente $\delta A$ por traducción de tiempo $\delta t$ y traducción espacial $\delta q_i$ , y después de algunos cálculos, llegará a:

d A = d \int L (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t) d t = \int (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) (d q_{i} - {\dot{q}}_{i} d t) d t + [\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} d q_{i} - H d t]

$\delta A = \delta\int L(q_i, \dot q_i, t) dt = \int\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt + \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

La traducción espacial $\delta q_i$ está asociado con el impulso $p_i$ , y la traducción del tiempo $\delta t$ se asocia con el hamiltoniano $H$ .

Ahora aplicamos el principio de mínima acción: $\delta A = 0$ , y obtenemos:

(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) (d q_{i} - {\dot{q}}_{i} d t) d t = - \frac{d}{d t} [\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} d q_{i} - H d t]

$\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt = -\frac{d}{dt} \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

Aquí identificamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, que deben cumplirse y, por lo tanto, son cero (cuidado con los productos escalares). Entonces tenemos una cantidad conservada para cada simetría de la acción:

{pag}_{i} d q_{i} - H d t = C t mi

$p_i\delta q_i - H\delta t = cte$

Para una simetría temporal, $H$ se conserva, y por lo tanto $H$ es la energía del sistema, por definición. No hay tal cosa probada que $T+V$ es el conservado, por lo tanto, pueden no ser invariantes dinámicos, por lo tanto, pueden no ser la energía.

En resumen, la definición formal actual de energía clásica fue motivada gracias al Teorema de Noether.

Aunque parece contraintuitivo. ¿Se puede obtener trabajo de $H$ como en la termodinámica? uno puede de $T+V$ . Tal vez las referencias estarían bien aquí, como dices. Me gustaría saber más sobre esto. Además, todavía se puede hablar de energía cuando no se conserva, $H$ ¿Seguirá siendo la definición de energía en tal caso? ¡Gracias!

Oleg · Answer 2

Hay al menos dos generalizaciones del teorema de Noether.

1) Suponga que el sistema hamiltoniano con hamiltoniano $H(z),\quad z=(p,q)$ tiene un grupo de simetría de un parámetro $\{g^s_F(z)\}$ que es generado por un sistema hamiltoniano con hamiltoniano $F$ . Entonces $F$ es una primera integral para $H:\quad \{F,H\}=0$ , además si $dF\ne 0$ entonces hay coordenadas canónicas locales $P,Q$ tal que en estas coordenadas (estas coordenadas se pueden construir por cuadraturas siempre $g^s_F$ se da) hamiltoniano $H$ no depende de $Q_1$ y $(P,Q)\mapsto g^s_F(P,Q)=(P_1,\ldots,P_n,Q_1+s,Q_2,\ldots,Q_n)$ .

2) Considere un sistema no holonómico con Lagrangiano $L=L(q,\dot q)$ y la ecuación de las restricciones $a_i^j(q)\dot q^i=0,\quad j=1,\ldots,k<n$ . Suponga que existe un grupo de un parámetro $\{g^s(q)\},\quad L(q,\dot q)=L(g^s(q),d g^s(q)\dot q)$ y $a_i^j(q) v^i(q)=0$ . Aquí $v$ es el campo vectorial que genera $g^s$ . Entonces el sistema tiene la primera integral $f=\frac{\partial L}{\partial \dot q^l}v^l.$ También se puede aplicar el teorema de rectificación a $v$

+1. Con respecto a una versión hamiltoniana del teorema de Noether, consulte también esta publicación de Phys.SE.

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