¿Por qué no podemos obtener un hamiltoniano sustituyendo?

Una observación bastante básica para hacer es que, por lo general, podemos identificar claramente

dónde$T$es la energía cinética y$U$es la energía potencial y

Expresar estas cantidades para, por ejemplo, un resorte tipo Hooke (o cualquier sistema donde$U\neq 0$) le daría un problema con el signo de$U$si simplemente sustituyes la expresión que encuentras por$\dot{q}(p)$en el lagrangiano.$^1$Entonces, el hamiltoniano definitivamente no es solo el lagrangiano con$\dot{q}$expresado en términos de$p$.

Expresado más matemáticamente, el hamiltoniano se define como la transformada de Legendre del lagrangiano. (para obtener más información sobre la transformación de Legendre, particularmente en el contexto de Lagrangian y Hamiltonian, vea mi respuesta aquí , así como las otras respuestas a esa pregunta)

$^1$De hecho, el Lagrangiano para tal sistema (1D) sería

para el cual el momento canónicamente conjugado es

y por lo tanto

solo insertando$p$en el lagrangiano produciría

Nótese la diferencia de signos del segundo término.

Si bien aprecio que la respuesta de Wouter muestre que, de hecho, no puede simplemente realizar la sustitución antes mencionada, en mi opinión, realmente no responde la pregunta (es decir, por qué no funciona la sustitución).

La confusión subyacente probablemente proviene del hecho de que en matemáticas si la sustitución$\dot{q}(p)$se inserta en$f\left(t,q,\dot{q}\right)$seguramente terminarás con una función$f\left(t,q,\dot{q}\right)=g\left(t,q,p\right)$.

Entonces, la verdadera respuesta a la pregunta es que los formalismos lagrangiano y hamiltoniano son solo dos paradigmas diferentes, y no importa lo que pongas en el lagrangiano en lugar de$\dot{q}$siempre terminarás con otro Lagrangiano (pero para un problema diferente). En otras palabras, el$L$delante de$\left(t,q,\dot{q}\right)$tiene implicaciones diferentes a las$H$, como la acción estacionaria,$n$ecuaciones de segundo orden para$n$coordenadas (donde$n$es el número del grado de libertades) vs.$2n$ecuaciones de primer orden para$2n$coordenadas, etc. Esto es diferente al caso en matemáticas donde$f$no lleva ninguna otra suposición diferente a$g$.

Lo que escribiste es un cambio variable en el marco del mismo Lagrangiano. Sigue siendo un Lagrangiano.

Yo diría que la razón por la que su método falla es porque la conversión entre la dinámica lagrangiana y hamiltoniana no es una simple sustitución, sino a través de la transformación matemática de las bases de coordenadas conocida como transformación de Legendre , dada en términos de las funciones hamiltoniana y lagrangiana.

Como señala Wouter , la transformación que ofrece en realidad no proporciona la transformación correcta.

Calcular un hamiltoniano a partir de un lagrangiano nos lleva a una nueva cantidad, que es una función de coordenadas y momentos. Si simplemente sustituye la velocidad en función del impulso en el Lagrangiano, entonces el "Hamiltoniano" dependerá implícitamente de la velocidad. Esto no es lo que queremos.

Déjame mostrarte un ejemplo para explicar por qué el hamiltoniano (el habitual) no depende de la velocidad. Digamos que el sistema es unidimensional. Entonces el lagrangiano es$L=L(q,\dot q)$. La ecuación de Euler-Lagrangiana es

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}$.

El momento canónico es$p=\partial L/\partial \dot q$. Si hacemos la transformación de Legendre, tenemos

$H(p,q)=p\dot q-L(q,\dot q(p))$

y considere la variación de$H$:

$\delta H=p\delta \dot q+\dot q\delta p-\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta \dot q$.

Ahora podemos conectar la definición de$p$:

$\delta H=\dot q\delta p-\frac{\partial L}{\partial q}\delta q$

lo que demuestra que$H$no es una función explícita de$\dot q$, que es lo que queremos.