¿Es H=T+UH=T+UH = T + U para un péndulo en movimiento circular?

Question

¿Es H=T+UH=T+UH = T + U para un péndulo en movimiento circular?

Física
hamiltoniano
sistemas coordinados
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

Ángel Octavio Parada Flores

tengo este problema:

Obtenga las ecuaciones de movimiento de Hamilton para un péndulo plano de longitud $l$ con punto de masa $m$ cuyo radio de suspensión gira uniformemente sobre la circunferencia de un círculo vertical de radio $a$ .

Este es mi vector de posición:

\vec{r} = (a porque (ω_{0} t) + yo pecado θ) \hat{i} + (a pecado (ω_{0} t) - yo porque θ) \hat{k}

$\begin{equation} \vec{r} = (a\cos{(\omega_0 t)} + l\sin{\theta})\hat{\imath} + (a\sin{(\omega_0 t)}-l\cos{\theta})\hat{k} \end{equation}$ (El ángulo que describe el movimiento del punto de suspensión en el círculo es

ω_{0} t

$\omega_0 t$ por ser uniforme)

A partir de esto, usando la definición de energía potencial y cinética, el lagrangiano es:

L = \frac{metro}{2} (a^{2} ω_{0}^{2} + 2 yo a ω_{0} \dot{θ} (pecado (θ - ω_{0} t)) + {yo}^{2} {\dot{θ}}^{2}) - metro gramo (a pecado (ω_{0} t) - yo porque θ)

$\begin{equation} L = \frac{m}{2}(a^2\omega_0^2 + 2la\omega_0\dot{\theta}(\sin{(\theta - \omega_0 t)}) + l^2\dot{\theta}^2) - mg(a\sin{(\omega_0 t)}-l\cos{\theta}) \end{equation}$

Ahora, traté de hacer mi hamiltoniano con la definición

H = {pag}_{i} \dot{q_{i}} - L

$\begin{equation} H = p_i\dot{q_i} - L \end{equation}$ Pero... para el problema, creo que esta forma no sirve para las ecuaciones de Hamilton. Entonces se me ocurrió usar

H = T + tu = \frac{metro}{2} {yo}^{2} {\dot{θ}}^{2} + metro gramo (a pecado (ω_{0} t) - yo porque θ)

$\begin{equation} H = T + U = \frac{m}{2}l^2\dot{\theta}^2 + mg(a\sin{(\omega_0 t)}-l\cos{\theta}) \end{equation}$ Sin embargo, no estoy seguro de poder usarlo porque, según yo, el vector de posición depende explícitamente del tiempo.

una mente curiosa

¡Hola y bienvenidos a physics.SE! Algunos comentarios: 1. Tenga en cuenta que en realidad no ha hecho una pregunta excepto en el título. Es fácil inferir lo que quiere saber, pero trate de hacer las preguntas lo más claras y directas posible. 2. El hamiltoniano de un sistema no es único y, de hecho, siempre se puede hacer desaparecer, cf. física.stackexchange.com/q/ 194772/ 50583. 3. Un hamiltoniano depende de posiciones y momentos generalizados. Su expresión depende de

\dot{(} θ)

$\dot(\theta)$ . que no es ninguno, ¿cómo se supone que es un hamiltoniano?

Respuestas (2)

¿Es H=T+UH=T+UH = T + U para un péndulo en movimiento circular?

¡Hola y bienvenidos a physics.SE! Algunos comentarios: 1. Tenga en cuenta que en realidad no ha hecho una pregunta excepto en el título. Es fácil inferir lo que quiere saber, pero trate de hacer las preguntas lo más claras y directas posible. 2. El hamiltoniano de un sistema no es único y, de hecho, siempre se puede hacer desaparecer, cf. física.stackexchange.com/q/ 194772/ 50583. 3. Un hamiltoniano depende de posiciones y momentos generalizados. Su expresión depende de $\dot(\theta)$ . que no es ninguno, ¿cómo se supone que es un hamiltoniano?

felipe · Answer 1

No, no puedes hacer eso, tienes que realizar una transformación de Legendre. Resolver $\dot\theta$ ,

{pag}_{θ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}

$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}$ Conseguirás

\dot{θ} (p_{θ})

$\dot\theta(p_{\theta})$ , es decir

\dot{θ}

$\dot\theta$ como una función de

p_{θ}

$p_{\theta}$ . Luego calcula,

H = {pag}_{θ} \dot{θ} ({pag}_{θ}) - L (θ, \dot{θ} ({pag}_{θ}), t)

$H = p_{\theta}\dot{\theta}(p_{\theta}) - L(\theta,\dot\theta(p_{\theta}),t)$ Finalmente,

\dot{θ} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{θ}}, {\dot{pag}}_{θ} = - \frac{\partial H}{\partial θ}

$\dot\theta = \frac{\partial H}{\partial p_{\theta}},\quad \dot p_{\theta}=-\frac{\partial H}{\partial \theta}$

ZeroTheHero · Answer 2

Este es un ejemplo de situación en la que el hamiltoniano $\sum \dot{q}_ip_i-L$ no es igual a $T+U$ . Uno puede ver el problema inmediatamente porque

\sum_{i} {\dot{q}}_{i} {pag}_{i} \neq 2 T,

$\sum_i \dot{q}_ip_i\ne 2T\, ,$ entonces este sistema no es un sistema “natural”. De hecho como está escrito

H

$H$ no se conserva porque

L

$L$ depende explícitamente de

t

$t$ .

La definición

H = \sum {\dot{q}}_{i} {pag}_{i} - L

$H=\sum \dot{q}_ip_i-L$ seguida de la eliminación de todos

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ en términos de

p

$p$ y

q

$q$ de modo que

H = H (q, p)

$H=H(q,p)$ es correcta y el punto de partida del análisis. La ecuación de Hamilton debe usarse usando

H (q, p)

$H(q,p)$ , no

T + U

$T+U$ .

Un ejemplo relacionado (pero diferente) es esta pregunta , aunque en la última, $L$ no depende de $t$ entonces $H$ se conserva

¿Es H=T+UH=T+UH = T + U para un péndulo en movimiento circular?

Ángel Octavio Parada Flores

una mente curiosa

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ZeroTheHero

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