¿Cuál es la relación exacta entre Θμμ=0Θμμ=0\Theta ^\mu _\mu =0 y la invariancia conforme?

Question

¿Cuál es la relación exacta entre Θμμ=0Θμμ=0\Theta ^\mu _\mu =0 y la invariancia conforme?

Física
leyes-de-conservacion
teoría del campo conforme
tensión-energía-momentum-tensor

pppqqq

Esto es en parte una reiteración de esta vieja pregunta física , que no recibió mucha atención.

Por lo general, se establece (ver, por ejemplo, Ref. 1, §4.2.2) que un tensor de momento de energía sin rastro $\Theta {^\mu} {^\nu}$ implica la invariancia de una acción $S[\Phi]$ bajo transformaciones conformes (aquí y en lo que sigue la métrica $g{_\mu} {_\nu}$ no es dinámico).

Como se señaló en phys.SE/53003 , en el tratamiento habitual del tema en los libros de texto, parece que la suposición subyacente de que los campos $\Phi$ satisfacer la MOE, $\frac{\delta S}{\delta \Phi}=0$ , está hecho. En efecto, por un lado, la variación total de la acción debe incluir también un término proporcional a $\frac{\delta S}{\delta \Phi}$ , si los campos llevan una representación no trivial del grupo conforme. Además, la condición sin rastro $\Theta ^\mu _\mu =0$ generalmente se satisface solo en el caparazón (cf., por ejemplo, la construcción de $\Theta {^\mu} {^\nu}$ en §4.2.2 de la Ref. 1, donde las condiciones de tracelessnes se derivan de la conservación de la corriente de dilatación $\partial _\mu j^\mu _D=0$ ).

Esto me lleva a mi pregunta . Considere las tres proposiciones:

La teoría es conformemente invariante.
Es posible definir un tensor de momento de energía $\Theta ^\mu _\nu$ con idéntico rastro que se desvanece: $\Theta ^\mu _\mu =0$ .
Es posible definir un tensor de momento de energía $\Theta ^\mu _\nu$ cuya traza se desvanece idénticamente a lo largo de las ecuaciones de movimiento : $\Theta ^\mu _\mu \approx 0$ .

¿Cuáles son las relaciones entre estas tres proposiciones?

Árbitro. 1: Teoría de campos conformes , P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Senechal.

AccidentalFourierTransformar

De Francesco-Mathieu-Senechal (página 101): "Bajo una transformación de coordenadas arbitraria,

δ S \sim \int T \cdot d ξ

$\delta S\sim \int T\cdot\mathrm{d}\xi$ . Esto es válido incluso si no se satisfacen las ecuaciones de movimiento. Si

ξ

$\xi$ denota una transformación conforme,

δ S \sim \int t r (T) \cdot d i v ξ

$\delta S\sim \int \mathrm{tr}(T)\cdot\mathrm{div}\xi$ , es decir, la ausencia de trazas del tensor de energía-momento implica la invariancia de

S

$S$ bajo transformaciones conformes. Lo contrario no es cierto, ya que

d i v ξ

$\mathrm{div}\xi$ no es arbitrario".

pppqqq

@AccidentalFourierTransform Encuentro los comentarios de di Francesco bastante confusos, que fueron la motivación de mi pregunta original. En primer lugar, no entiendo por qué él (aparentemente) trata la transformación conforme en coordenadas y campos como si fuera simplemente una transformación de coordenadas, que no lo es. En segundo lugar, creo que la ecuación

tr T = 0

$\text {tr}T=0$ es válido, en general, solo on-shell; véase, por ejemplo, la construcción que da para el tensor EM mejorado, cuya traza es igual a

\partial_{μ} j_{D}^{μ}

$\partial _\mu j_D ^\mu$ . Entonces, incluso si

δ S \sim \int Tr T

$\delta S \sim \intop \text {Tr} T$ [...]

pppqqq

[...] (que creo que es incorrecto, vea mi respuesta a continuación) de este argumento se desprende que uno tiene en general

δ S \neq 0

$\delta S \neq 0$ para configuraciones fuera de la carcasa (por otro lado,

δ S = 0

$\delta S =0$ para configuraciones en shell es trivial).

qmecanico

Consejo general: ¡No permitamos que las publicaciones parezcan historiales de revisión!

Respuestas (2)

¿Cuál es la relación exacta entre Θμμ=0Θμμ=0\Theta ^\mu _\mu =0 y la invariancia conforme?

De Francesco-Mathieu-Senechal (página 101): "Bajo una transformación de coordenadas arbitraria, $\delta S\sim \int T\cdot\mathrm{d}\xi$ . Esto es válido incluso si no se satisfacen las ecuaciones de movimiento. Si $\xi$ denota una transformación conforme, $\delta S\sim \int \mathrm{tr}(T)\cdot\mathrm{div}\xi$ , es decir, la ausencia de trazas del tensor de energía-momento implica la invariancia de $S$ bajo transformaciones conformes. Lo contrario no es cierto, ya que $\mathrm{div}\xi$ no es arbitrario".
@AccidentalFourierTransform Encuentro los comentarios de di Francesco bastante confusos, que fueron la motivación de mi pregunta original. En primer lugar, no entiendo por qué él (aparentemente) trata la transformación conforme en coordenadas y campos como si fuera simplemente una transformación de coordenadas, que no lo es. En segundo lugar, creo que la ecuación $\text {tr}T=0$ es válido, en general, solo on-shell; véase, por ejemplo, la construcción que da para el tensor EM mejorado, cuya traza es igual a $\partial _\mu j_D ^\mu$ . Entonces, incluso si $\delta S \sim \intop \text {Tr} T$ [...]
[...] (que creo que es incorrecto, vea mi respuesta a continuación) de este argumento se desprende que uno tiene en general $\delta S \neq 0$ para configuraciones fuera de la carcasa (por otro lado, $\delta S =0$ para configuraciones en shell es trivial).
Consejo general: ¡No permitamos que las publicaciones parezcan historiales de revisión!

M. Sasieta · Answer 1

M. Sasieta

La invariancia conforme de la acción clásica no es una declaración en el caparazón. Es lo mismo que decir que la invariancia de Lorentz fue una declaración en el caparazón. La conservación del tensor de energía-momento en ese caso es una declaración en el caparazón, que proviene del teorema de Noëther. En el caso de la invariancia conforme, la imposibilidad de trazar el tensor de energía-momento es una declaración en el caparazón.

Mecánicamente cuánticamente, el teorema de Noëther debería ser cambiado por las Identidades de Ward. Por lo tanto, la traza del tensor de energía-momento no debe ser cero como operador, pero su valor esperado en el vacío debe ser cero. Esto supone que toda la teoría cuántica es conformemente invariante, lo cual es el resultado de que la acción clásica es invariante más la medida integral de trayectoria es invariante. Si la medida de la integral de trayectoria rompe la simetría conforme, entonces tenemos una anomalía conforme, y la traza del momento de la energía tiene un valor esperado distinto de cero en el vacío. Si esto sucede, todo lo relacionado con las funciones de 2 y 3 puntos no es válido porque asumiste que la medida de la integral de trayectoria es invariante.

Creo que a partir de la condición de ausencia de trazas en el caparazón se pueden obtener las ecuaciones de movimiento y, a partir de ahí, se puede obtener la acción y ver si es invariante. O de otra manera, podría definir la variación de los campos para que cancelara la traza del tensor de impulso de energía para los campos fuera de la capa. De esta manera, terminaría descubriendo los pesos conformes de cada campo y que toda la transformación que definió es una transformación conforme (porque, por definición, dicha transformación cambia la métrica de esa manera).

pppqqq

Estimada Sasieta, gracias por su respuesta. Estoy de acuerdo contigo en (1), creo también que la acción tiene que ser invariante. También entiendo sus comentarios sobre el lado de la mecánica cuántica. Sin embargo, no estoy muy seguro de su punto (3): primero, asumo que la acción y, a fortiori, los EOM están dados, por lo que no necesito obtenerlos de la condición de ausencia de rastro (es esto incluso posible?). En segundo lugar, no es obvio en absoluto que, dada la falta de seguimiento en el caparazón, pueda definir la variación de los campos de tal manera que tenga

δ S = 0

$\delta S=0$ (es exactamente lo que estoy tratando de entender)... ¿o no?

M. Sasieta

Bien, lo que quise decir es lo siguiente. Imagine el caso más simple de un CFT, un escalar libre (sin masa) en

d

$d$ dimensiones. Comenzando con el tensor habitual de energía-momento

T_{m v} = \partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ - \frac{1}{2} η_{m v} \partial^{σ} ϕ \partial_{σ} ϕ

$T_{\mu\nu} = \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu}\partial^\sigma \phi \partial_\sigma \phi$ se puede hacer sin rastro para configuraciones en el caparazón agregando un derivado total:

Θ_{m v} = T_{m v} + (\frac{d - 2}{2}) \partial_{m} (ϕ \partial_{v} ϕ)

$\Theta_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} + \left(\dfrac{d-2}{2}\right) \partial_\mu (\phi \partial_\nu\phi)$ que también es simétrico y conservado en el caparazón ...

M. Sasieta

Supongamos que le dan esto

Θ_{μ ν}

$\Theta_{\mu\nu}$ y dijo que no tiene rastro para configuraciones en el caparazón. Entonces puedes obtener fácilmente las ecuaciones de movimiento para

ϕ

$\phi$ , y a partir de ahí, la acción

S [ϕ]

$S[\phi]$ . Una vez que tienes la acción, no es una cosa en el caparazón, por lo que puedes jugar con ella y transformarla con una transformación conforme para ver si es invariable. Puede ver que, de hecho, será invariante bajo tal transformación. Esto se debe a que si defines

ϕ

$\phi$ transformarse como

ϕ (X) \to λ^{(\frac{d - 2}{2})} ϕ (λ^{- 1} X)

$\phi(x) \rightarrow \lambda^{\left(\frac{d-2}{2}\right)}\phi(\lambda^{-1}x)$ puedes calcular

δ S [ϕ] = 0

$\delta S[\phi] = 0$

pppqqq · Answer 2

en ref. 1 del OP se prueba que $2\implies 1$ (Me refiero a las proposiciones numeradas del OP). Lo que tal vez debería enfatizarse es que en tal teoría (con $\Theta ^\mu _\mu$ exactamente desapareciendo) la invariancia conforme se mantiene de una manera especial: de tal manera que todos los campos se definen para tener un peso conforme desvanecedor.

En esta respuesta, por el contrario, probaré que $1 \implies 3$ , bajo algunos supuestos técnicos que se pueden encontrar en la Ref. 1 de la OP. De hecho, probaré la afirmación para una teoría simplemente invariante de escala (bajo las mismas suposiciones técnicas, tal teoría resulta ser conformemente invariante). Si todos los campos tienen una dimensión de escala que desaparece, la misma prueba muestra que $1\implies 2$ .

Cuando la teoría es invariante de escala, existe una corriente de dilatación conservada:

\partial_{m} j_{D}^{m} \approx 0,

$\partial _\mu j^\mu _D \approx 0,$ dónde

\approx

$\approx$ denota igualdad en el caparazón.

En OP's Ref. 1 se demuestra que, dadas ciertas suposiciones técnicas, en una teoría invariante de escala siempre se puede definir un tensor de energía-momento que satisface:

Θ_{m}^{m} = \partial_{m} j_{D}^{m} .

$\Theta ^{\mu} _{\,\mu} = \partial _\mu j_D^\mu.$

En particular, esto implica:

Eso $\Theta ^{\mu} _{\,\mu} \approx 0$ (trivial).
Que la teoría es en realidad conforme invariante (no trivial).

Permítanme esbozar la demostración del segundo punto. La variación de un campo de materia genérico $\Phi$ bajo una transformación conforme infinitesimal $x\to x+\xi(x)$ es dado por:

d_{C} Φ = d_{d} Φ + d_{s} Φ,

$\delta _c \Phi =\delta _d \Phi + \delta _s \Phi,$ dónde

δ_{d} Φ

$\delta _d\Phi$ es la variación de

Φ

$\Phi$ como consecuencia del difeomorfismo

x \to x + ξ (x)

$x\to x+\xi (x)$ , mientras

δ_{s} Φ

$\delta _s\Phi$ es una transformación a escala local:

d_{s} Φ = - \frac{Δ}{d} (\partial_{m} ξ^{m}) Φ,

$\delta _s \Phi = -\frac{\Delta}{d} (\partial _{\mu} \xi ^{\mu}) \Phi,$ dónde

Δ

$\Delta$ es el peso conforme de

Φ

$\Phi$ . En consecuencia, la variación de la acción es:

d_{C} S = \int d^{d} X \frac{d S}{d Φ (X)} [d_{d} Φ (X) + d_{s} Φ (X)] .

$\delta _c S =\intop \text {d}^d x \frac{\delta S}{\delta \Phi (x)}[\delta _d \Phi (x) + \delta _s \Phi (x)].$

Ahora, los dos puntos cruciales:

El primer término se expresa en términos de $\Theta ^{\mu} _{\,\nu}$ acoplando la teoría a la gravedad: $S [Φ] \to S [Φ, gramo]$ $S[\Phi]\to S[\Phi,g]$ de tal manera que la nueva acción es invariante bajo difeomorfismos. De esta forma se tiene: $\int d^{d} X \frac{d S}{d Φ (X)} d_{d} Φ (X) = - \int d^{d} X \frac{d S}{d {gramo}_{m v} (X)} d {gramo}_{m v} (X) = \int d^{d} X T_{m}^{m} \partial_{v} ξ^{v} .$ $\intop \text {d}^d x \frac{\delta S}{\delta \Phi (x)}\delta _d \Phi (x)=-\intop \text {d}^d x \frac{\delta S}{\delta g _{\mu \nu} (x)}\delta g _{\mu \nu} (x)=\intop \text {d}^d x T ^{\mu} _{\,\mu} \partial _{\nu} \xi ^\nu.$ Aquí hemos definido: $T^{m v} (X) \equiv \frac{d S}{d {gramo}_{m v} (X)} .$ $T ^{\mu \nu}(x)\equiv \frac{\delta S}{\delta g _{\mu \nu} (x)}.$
El segundo término es, por definición de $j^\mu _D$ : $\int d^{d} X \frac{d S}{d Φ (X)} d_{s} Φ (X) = \int d^{d} X (\partial_{m} j_{D}^{m}) (\partial_{v} ξ^{v}) .$ $\intop \text {d}^d x \frac{\delta S}{\delta \Phi (x)}\delta _s \Phi (x)=\intop \text {d}^d x (\partial _\mu j_D ^\mu) (\partial _\nu \xi^\nu) .$

Ahora bien, si tuviéramos $T^{\mu \nu}=\Theta ^{\mu \nu}$ , entonces de la condición $\partial _\mu j^\mu _D = \Theta ^\mu _\mu$ , sumando las dos variaciones, inmediatamente concluiríamos que $\delta _c S=0$ , es decir, la teoría es conformemente invariante. Por supuesto, en general $T\neq \Theta$ , pero reconsiderando la construcción de $\Theta$ en Ref. 1 (en particular, Ecs. (4.42) y (4.43) de §4.2), uno puede ver que la sustitución $T\to \Theta$ bajo el signo integral no tiene consecuencias. Luego sigue la invariancia conforme.

Tengo una confusión similar pero no entiendo la última mitad de esta respuesta. ¿Cómo sigue exactamente la invariancia conforme? ¿Está definiendo una transformación conforme como el compuesto de un difeomorfismo (que es conforme) más una transformación de Weyl? ¿Por qué no incluyes la variación de la métrica en $\delta_c S$ ¿para empezar?
Estimado @knzhou, gracias por preguntar, en realidad me tomó un tiempo volver a entender mi propia respuesta. Lo actualicé, trate de darle un vistazo. Permítanme agregar algunos comentarios (i) Quiero enfatizar que estoy tratando con transformaciones conformes de un espacio-tiempo con una métrica de Minkowski fija . Estas transformaciones actúan sobre regiones del espacio-tiempo. $\Omega\to \Omega '$ y campos $\Phi\to \Phi'$ , dejando la métrica de Minkowski $\eta\to \eta$ intacto; el enunciado de invariancia conforme es: $S[\Omega ', \Phi ', \eta]=S[\Omega , \Phi , \eta]$ . Esto debería responder a tu última pregunta. [...]
[...] (ii) Estoy definiendo transformaciones conformes como transformaciones de coordenadas, y también estoy permitiendo que varios campos lleven una representación no trivial bajo el grupo conforme (es decir, un peso conforme distinto de cero). La transformación conforme de un campo se compone así de dos partes: una transformación de coordenadas (la $\delta _d$ parte) y una transformación lineal (la $\delta _s$ parte). Creo que se vuelve más claro cuando se restringe al caso. $\xi ^\mu (x)=\epsilon x^\mu$ , que corresponde a la transformación de escala.
Mirando esto con más cuidado, no estoy seguro de cómo funciona el paso numerado (2) anterior. Por ejemplo, considere el caso especial $\xi^\mu = \epsilon x^\mu$ . La variación de $\Phi$ bajo la transformación de escala correspondiente es como $\delta \Phi = - \Delta \Phi + x^\mu \partial_\mu \Phi$ . Pero la variación $\delta_s \Phi$ sólo contiene el primer término. Es decir, su transformación de escala local solo escala el valor del campo local, sin mover el campo en absoluto. ¿Por qué se puede ignorar el término extra?
Mi notación podría confundirte. Tienes razón, la variación total de $\Phi$ bajo una transformación de escala sería $\delta \Phi = \delta _d \Phi + \delta _s \Phi$ , con $\delta _d \Phi = \epsilon x^\mu \partial _\mu \Phi$ y $\delta _s \Phi = -\epsilon \Delta \Phi$ . Aquí el $\delta _d$ parte está teniendo en cuenta que el sistema de coordenadas está cambiando (si $\Phi$ fuera un campo tensorial general, también tendría que tener en cuenta la rotación del marco de coordenadas local). El punto crucial aquí es que los campos $\Phi$ y $\Phi + \delta _d \Phi$ son el mismo campo [...]
expresado en términos de diferentes coordenadas (las coordenadas antes y después de la transformación conforme), mientras que $\Phi + \delta _c \Phi$ es un campo diferente (es decir, una función escalar diferente en la variedad de espacio-tiempo). La razón por la que estoy distinguiendo entre las dos contribuciones es que se puede tener en cuenta la parte "diferencial" de la transformación mediante el truco del acoplamiento a una métrica externa. $g_{\mu \nu}$ , ya que la acción acoplada está construida para ser diff-invariante.

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