¿Cómo desaparecen los términos en la conservación del tensor tensión-energía?

Cuando Carroll dice "la ecuación", se refiere a la ecuación con cuatro términos que anotaste. La convención de suma es explícita en la ubicación de los índices. Ahora vamos a la intuición física.

Lo primero que hay que notar es que esta ecuación permite el flujo de energía. Entonces, la declaración de conservación de energía no es:

$$\frac{dE}{dt} = 0$$ Pero en lugar: $$\frac{dE_{bulk}}{dt}=\text{flux of energy into the bulk}$$ De manera equivalente, podemos ver una versión local de la ley que solo se ocupa de un punto A en general, y escribimos esta versión como: $$\frac{d\rho_{A}}{dt}=\text{flux of energy into point A}$$ Ahora volvamos a tu ecuación con cuatro términos: $$\partial_0 T^{00}+\partial_1 T^{10}+\partial_2 T^{20}+\partial_3 T^{30}=0$$ Si tomamos el bulto como un fluido y A es un punto en el fluido. Entonces $T^{00}$se define como la densidad de energía $\rho$del fluido (en unidades naturales) en el punto A. $T^{i0}$(dónde $i=1,2,3$) se define como el flujo de energía a través del $x^i$superficie. ¿Qué significa eso? Tomaremos $T^{10}$como ejemplo. Eso significa que en cada unidad de tiempo, hay $T^{10}$cantidad de energía que fluye en el $x^1$dirección a través de un parche de unidad de área. Entonces, cuando tomamos la derivada en el punto A, podemos visualizarlo de esta manera:

Suponga que tiene dos placas de unidad de área que son perpendiculares a la$x^1$dirección. El$x^1$coordenada de la placa 1 es$x$, y el$x^1$coordenada de la placa 2 es$x+\Delta x$, mientras que A está en$x+\Delta x/2$. Entonces podemos decir:

$$\partial_1T^{10} \approx \frac{T^{10}_{Plate2}-T^{10}_{Plate1}}{\Delta x}$$

¿Cómo interpretamos esto? Bueno, imagina que estás sentado en el punto A y encerrado en una pequeña caja con las placas 1 y 2 como paredes. Entonces$T^{10}_{Plate_2}$sale de la caja y$T^{10}_{Plate_1}$fluye hacia la caja (debido al signo menos). Entonces, si tomamos el límite cuando la caja se encoge, la derivada representa el flujo de energía que sale del punto A en el$x^1$dirección , como se esperaba. Argumentos similares funcionan para otros componentes. Ahora tu ecuación dice:

$$\frac{d\rho_A}{dt}+\text{flux of energy out of point A in $x^1$ direction} + \text{flux of energy out of point A in $x^2$ direction} + \text{flux of energy out of point A in $x^3$ direction}=0$$

Si usamos el hecho de que:

$$\text{flux of energy out of point A} = - \text{flux of energy into point A}$$ Finalmente llegamos al resultado que nos propusimos mostrar: $$\frac{d\rho_A}{dt} = \text{flux of energy into point A}$$