Operadores compuestos en teoría topológica/conforme de campos

En prácticamente cualquier referencia sobre teoría de campos conforme o cohomológica, eventualmente verá una fórmula como:

d d h α β ⟨ O 1 ( X 1 ) . . . O norte ( X norte ) ⟩ = 1 4 π ∫ d 2 X h ⟨ T α β ( X ) O 1 ( X 1 ) . . . O norte ( X norte ) ⟩

Aquí, h α β es la métrica de la hoja mundial, T α β es el tensor de energía-momento, y O i son algunos operadores físicos locales. Ingenuamente, podemos derivar esto simplemente expresando la función de correlación como una integral de trayectoria sobre campos y tomando la derivada variacional directamente. Si alguna vez ha trabajado con teorías explícitamente, para obtener una buena T α β (por ejemplo, en el caso de CFT, uno que tiene los conmutadores correctos consigo mismo y campos primarios) debe especificar alguna opción de orden para evitar singularidades de operadores compuestos. ¿Cómo tiene esto en cuenta el argumento de la integral de trayectoria? Estoy tentado a simplemente ignorarlo y decir que la definición correcta de la medida integral de la ruta contiene dependencia de h α β y esto asegura que T α β sale correctamente, pero esto parece demasiado incompleto. En el caso de CFT, esto no es tan importante ya que la integral de trayectoria pasa a un segundo plano, pero en TQFT, este tipo de argumentos formales son fundamentales para demostrar que las invariantes topológicas son en realidad invariantes, por lo que tengo curiosidad sobre cómo conectar las generalidades formales. con las consideraciones más prácticas como ordenar.

De manera más general, cuando tratamos con otros objetos importantes como las supercargas que pueden ser operadores compuestos, ¿cómo tiene en cuenta la imagen de la integral de trayectoria el orden correcto? Parece bastante fácil simplemente tomar los operadores correctamente ordenados como nuestra definición, pero ¿cómo estamos seguros de que la integral de trayectoria concuerda con esta definición?

Respuestas (1)

El principio general es que solo es coherente agregar un operador de orden normal a la acción cuando el orden normal se puede deshacer mediante una elección adecuada de contratérminos. (Esto se explica en todo su esplendor aquí: https://arxiv.org/abs/1512.02604 . Consulte la versión 1 de ese documento para obtener más información sobre la noción habitual de ordenación normal en oposición a la "ordenación normal completa".)

Por ejemplo, en el caso de una teoría de campo libre en 2D (como supercuerdas en fondos planos), puede deshacer el orden normal de T a b (o, por el contrario, puede implementarlo) agregando un contratérmino a la constante cosmológica 2d. Como me dirijo a un público posiblemente más amplio, también mencionaré que aunque este último rompe la invariancia conforme clásicamente, se requiere en cualquier caso para preservar la invariancia conforme a nivel cuántico. Para ser precisos, esto implica que una constante cosmológica 2d es generada por la medida integral del camino (por el principio de ultralocalidad de Polchinski), por lo que por esta razón su argumento de agitar la mano también es correcto.

Cuando su teoría no es libre, el mismo principio mencionado en el primer párrafo sigue siendo válido, pero aquí el ordenamiento normal no es suficiente para tener un operador compuesto bien definido.

¡Gracias por esta respuesta! Supuse que el tema sería de este tipo; solo una renormalización/definición de la medida, pero con cosas tan sutiles nunca se puede estar demasiado seguro.
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