El condicional material tiene un valor de verdad de T en todos los casos, excepto cuando la proposición antecedente es verdadera y la consecuente es falsa. Sin embargo, esto significa que muchos condicionales son verdaderos (aunque solo sea de forma vaga), que nunca usaríamos en el día a día. ¿Hay algún análisis que demarque los condicionales del lenguaje ordinario como un subconjunto de condicionales materiales que pueda arrojar alguna luz sobre este tema, o estamos, a partir de ahora, limitados a decir que las afirmaciones vagamente verdaderas son verdaderas pero inútiles para la vida cotidiana?
Creo que esta explicación de Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic (1967 - Dover reprint) [pag.10 - footnote 12] es una buena elucidación breve de la "formalización" del condicional en un entorno funcional de verdad:
El uso ordinario ciertamente requiere que "Si A , entonces B " sea verdadero cuando A y B son ambos verdaderos, y falso cuando A es verdadero pero B es falso. Por tanto, sólo puede cuestionarse nuestra elección de T en las líneas tercera y cuarta [de la tabla de verdad introducida para A y B , es decir, las líneas FT y FF]. Pero si cambiamos T por F en estas dos líneas, simplemente obtendríamos un sinónimo de ∧ ["y"]; en la tercera línea solamente, para ↔ [es decir, el bicondicional ]. Si cambiamos T por F en la cuarta línea solamente, perderíamos la propiedad útil de nuestra implicación de que "Si A, entonces B " y "Si no B , entonces no A " son verdaderos en las mismas circunstancias [...].
La definición funcional de verdad de los conectores proposicionales es un "modelo" que en algunos casos "encaja" bastante bien con nuestro uso en lenguaje natural (negación, disyunción, conjunción) y no tan bien en otros casos (condicional).
Cuando afirmamos una oración A , expresamos el hecho de que la "juzgamos" como verdadera .
Por lo tanto, afirmar el condicional A → B significa "juzgarlo" como verdadero .
Cuando los matemáticos (como Frege) introdujeron el conectivo veritativo-funcional, tenían en mente una propiedad característica del conectivo, a saber, la regla del modus ponens. Con esta regla afirmamos A → B y A ; en este caso, la primera afirmación "excluye" el caso en que A es verdadero y B falso , mientras que la segunda afirmación "excluye" los dos casos en que A es falso .
Por lo tanto, solo nos queda una posibilidad: B true , y esto es lo que esperábamos.
En nuestro uso "ordinario" del lenguaje rara vez afirmamos un condicional "si..., entonces ___" cuando sabemos que el antecedente es falso; pero el "modelado" de la lógica matemática encaja bastante bien con el uso en las matemáticas ordinarias.
El "contexto" muy importante en matemáticas es el siguiente:
Σ⊨φ ;
en este caso decimos que Σ implica φ . La condición que valida la relación de "vinculación" es que: toda interpretación que satisfaga (todas las oraciones en) Σ también satisfará φ ; o, de manera equivalente, no hay una interpretación tal que todo Σ sea verdadero y φ sea falso .
Este "contexto" se usa comúnmente cuando afirmamos que algún torema ( φ ) se sigue de un conjunto Σ de oraciones, por ejemplo, los axiomas de una teoría.
Cuando Σ={σ} , de σ⊨φ tenemos que : ⊨σ→φ .
Este resultado establece una conexión estricta entre el condicional (→) y la relación de vinculación (⊨). Las dos son relaciones diferentes, pero el vínculo anterior entre ellas es tan útil que "aceptamos" el ajuste "no perfecto" del condicional con nuestros hábitos de lenguaje natural.
F-T is Ty si cambiamos solo is Ta is Fla tercera línea, obtenemos "no". ¿No lo que?F->T is T, is Fincluso antes de mirar el resultado y cambiando el resultado, es una línea contradictoria. Entonces, como mucho, es agregar una contradicción a esa línea que ya es contradictoria.F,F is TParece sugerir que si hace que sea T, en sea F, entonces el contrapositivo ya no es cierto. Estoy de acuerdo con mi lógica intuitiva de que A->B entonces ¬B->¬A pero no veo cómo se deriva eso de A->B. particularmente cómo se puede derivar ¬B->¬A cuando la línea F,F de A->B da como resultado verdadero, pero no se puede derivar cuando la línea F,F de A->B da como resultado falso.Del uso diario, tenemos:
Si asumimos que A es verdadera y, sin hacer ninguna otra suposición, podemos inferir que B también debe ser verdadera, entonces podemos inferir que A implica que B es verdadera. Puede haber locales intermedios que fueron dados de alta y desactivados. (La regla de la conclusión)
Si suponemos que A es verdadera y, sin hacer ninguna otra suposición, podemos obtener una contradicción, entonces A debe ser falsa. Aquí también puede haber locales intermedios que fueron dados de alta y desactivados. (La regla de la conclusión indirecta)
Usando estas reglas del uso diario, podemos probar que para cualquier proposición lógica A y B, de verdadero o falso, tenemos: A es verdadera implica que A es falsa implica que B es verdadera. ( UN => [~A => B] )
Prueba:
Sean A y B proposiciones lógicas de verdadero o falso. (Aplica Ley de Tercero Excluido)
Premisa: Supongamos que A es verdadero.
Premisa: Supongamos que A es falsa. (Las suposiciones no necesitan ser consistentes.)
Premisa: Supongamos que B es falsa.
Uniendo (2) y (3), obtenemos la contradicción A es verdadera y A es falsa.
Aplicando la Regla de Conclusión Indirecta, (4) debe ser falsa, es decir, B debe ser verdadera.
Aplicando la regla de conclusión para (2) y (6), A implica que B debe ser verdadera. (La premisa en la línea 4 ha sido descargada y desactivada).
Aplicando la Regla de Conclusión una vez más para (1) y (6), obtenemos, como se requiere, que A es verdadero implica que A es falso implica que B es verdadero. (La premisa en la línea 3 ha sido descargada y desactivada.) ( A => [~A => B] )
De una falsedad, todas las cosas se siguen.
Más detalles en mi publicación de blog Implicación material: si los cerdos pudieran volar .
Dan
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