Límite clásico de la ecuación de Schrödinger

La sutileza es que una función de onda arbitraria no se reduce a un punto del espacio de fase clásico en el límite$\hbar \to 0$(pensar en el espacio de fase tiene más sentido ya que en el límite clásico uno debería tener coordenadas y momentos definidos).

Entonces uno podría preguntarse qué funciones de onda hacen. Y la respuesta es que el límite clásico se basa en los llamados estados coherentes, los estados que minimizan la relación de incertidumbre (aunque no conozco ningún teorema matemático que demuestre que siempre es cierto en el caso general, pero en todos los casos conocidos). ejemplos es de hecho así). Los estados cercanos a los coherentes pueden considerarse como una especie de "borrosidad cuántica", correspondiente a las correcciones cuasiclásicas de órdenes superiores en$\hbar$.

Se puede encontrar un ejemplo de esto para el oscilador armónico en Landau Lifshits.

En cuanto al argumento fluido. Acerca de su comentario (1): el$|\psi|^2$porque el estado estacionario es de hecho estacionario, pero aún satisface la ecuación de continuidad ya que la corriente es cero para tales estados. Tus comentarios (2) y (3) tienen toda la razón porque, como ya dije, el límite clásico no se puede tomar sensatamente para estados arbitrarios, se construye a partir de estados coherentes.

Y también debo admitir que el argumento fluido dado de hecho no proporciona ninguna manifestación de límite clásico. Es solo una ilustración de que "todo se comporta razonablemente bien" para convencer a los lectores de que todo está bien y, presumiblemente, para desviar su atención del punto difícil y sutil: a menudo sucede en$\it{physics}$libros, probablemente sin querer :). El problema de una buena descripción del límite clásico es en realidad abierto (aunque a menudo subestimado), lo que lleva a preguntas bastante profundas, como la forma sistemática de obtener la geometría simpléctica del límite clásico. En mi opinión, también está relacionado con el problema de la reducción cuántica (conocido también como el "colapso de la función de onda").

Buena discusión. Según el comentario de U. Klein sobre el$\hbar \rightarrow 0$límite de la teoría cuántica no es lo que la gente podría pensar. Es natural e intuitivo, como se explicó anteriormente, suponer que el límite clásico es una propiedad de cierta clase de estados.

Da la casualidad de que esa opinión es incorrecta. De hecho, puede obtener una recuperación exacta de la mecánica de puntos clásica hamiltoniana para cualquier valor de$\hbar$usando una ecuación de onda diferente:

Cuando uno se familiariza con este resultado, queda claro por qué hay tanta confusión.

La gente pensó que el límite clásico debería estar contenido dentro de la teoría cuántica.

La simple verdad es que no lo es. El límite no existe dentro de la teoría.

Se trata de una ecuación muy específica que está fuera de la mecánica cuántica lineal. Sin embargo, es simple, ya que esta ecuación produce las relaciones de Ehrenfest esperadas:

La ecuación relevante se obtuvo por primera vez en KRW Jones (1991), "La ecuación clásica de Schroedinger" UM-P-91/45 (CSE) http://arxiv.org/abs/1212.6786 . En 1992 se publicó una versión más simple: KRW Jones (1992), "La mecánica clásica como ejemplo de mecánica cuántica generalizada" Phys. Rev. D45, R2590-R2594. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.45.R2590 . La preimpresión original que contiene la derivación y la prueba de unicidad se publicó en arXiv hace unos días (ver enlace arriba).

El hecho de que la ecuación no sea lineal puede explicar por qué la literatura la pasó por alto durante tanto tiempo. Es simple, pero no es trivial, ni es obvio hasta que lo sabes.

La derivación del CSE implica la teoría de grupos y una representación no lineal inusual del grupo de Heisenberg-Weyl. El sistema matemático de teoría cuántica no lineal involucrado es el descubierto primero por Weinberg e (independientemente) por Jones.

Una receta general de cómo tomar un límite clásico usando un parámetro adimensional$\lambda \rightarrow 0$se da en el artículo: KRW Jones (1993), "Un método general para deformar la dinámica cuántica en dinámica clásica mientras se mantiene$\hbar$fijo" Phys. Rev. A48, 822-825.

Allí encontrará el argumento general de cómo hacer un límite clásico consistentemente para que se recuperen el espacio de fase, las trayectorias y todas las demás propiedades.

Es sorprendente que la comunidad de físicos aún no se haya dado cuenta de esto. Sin embargo, la pregunta es excelente y sutil, ya que las matemáticas involucradas no existían antes de 1989. La conexión entre esta área y la integral de trayectoria de Feynman es particularmente interesante.

El resultado principal del artículo "¿Cuál es el límite ℏ→0 de la teoría cuántica?" es que el límite clásico de la teoría cuántica no es la mecánica clásica sino una teoría estadística clásica. Mi "artículo técnico" ha sido escrito con la idea en mente de contribuir a la comprensión (la interpretación) de la teoría cuántica. La conclusión final del artículo presenta, en mi opinión, un fuerte argumento a favor de la interpretación estadística de la teoría cuántica. La motivación y las conclusiones se analizan con más detalle en las secciones I y VIII del documento. Estaré encantado de responder preguntas específicas, pero tenga en cuenta que casi todas las respuestas que puedo dar se pueden encontrar en mi sitio web "http://statintquant.net" (solo estoy actualizando esto, terminaré pronto).