Ejemplo de una teoría mecánica cuántica con límite clásico no trivial

En la cuantización de una variedad simpléctica (espacio de fase)$M$, hay teoremas de límite clásicos de convergencia del álgebra de operadores del sistema cuántico al álgebra de funciones de Poisson en la variedad simpléctica, de la que partimos, en el límite$\hbar \rightarrow 0$:

$$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||T_f^{\frac{1}{\hbar}}|| = |f|_{\infty}$$ $$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||[T_f^{ \frac{1}{\hbar}}, T_g^{ \frac{1}{\hbar}}]- i T_{\left \{f, g \right\}}^{ \frac{1}{\hbar}} ||= 0$$

Dónde$T_f^{\frac{1}{\hbar}}$es el operador Toeplitz que representa el observable$\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }$en el espacio cuántico de Hilbert (actuando como un núcleo de convolución en las funciones de onda):

$$(\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }\circ \psi)(x) = \int_M d\mu_{L}(M) h^{\frac{1}{\hbar}} (x,y) T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) \psi(y)$$ Dónde: $d\mu_{L}$es la medida de Liouville en $M$y $h$es una métrica sobre las fibras del haz de líneas de cuantificación.

Los operadores Toeplitz pueden expresarse, dada una base de estado coherente, como:$|x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$,

$$T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) = _{\frac{1}{\hbar}}\langle y| \hat{f}_{\frac{1}{\hbar} } | |x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$$ El valor de $\hbar$se controla mediante la elección de la métrica sobre las fibras o equivalentemente, la base de estado coherente.

Bordemann, Meinrenken y Schlichenmaier demostraron el teorema anterior en el caso de variedades compactas de Kähler. Su demostración es válida tanto para la cuantización de Berezin-Toeplitz como para la cuantización geométrica, cuyos operadores de Toeplitz están relacionados con los operadores de Berezin Toeplitz mediante la fórmula de Tuynman:

$$Q_f ^{\frac{1}{\hbar}} = T_{f-\frac{\hbar}{2}\Delta}^{\frac{1}{\hbar}}$$

Este teorema fue generalizado por Ma y Marinescu para la cuantización de Berezin-Toeplitz de variedades y orbifolds no compactos de Kähler y variedades simplécticas generales.

Charles y Polterovich obtuvieron estimaciones más precisas para los límites semiclásicos en el caso de variedades compactas.

La historia anterior es válida cuando cuantificamos una variedad dada al principio. Pero a veces, solo conocemos el álgebra de operadores y el hamiltoniano, como en el caso de los modelos de espín. En este caso (véase Gnutzmann, Haake y Kuś ), hay ciertos casos singulares en los que el álgebra de operadores se puede representar isomórficamente mediante operadores de Toeplitz en dos (o más) espacios de fase distintos, que emergen como límites clásicos. En este caso, las teorías clásicas son completamente diferentes, cuando la estructura de Poisson es no degenerada, el límite clásico es integrable, cuando es degenerada, el límite clásico es caótico.