Identificar funciones en el disco unitario con funciones en el hemisferio superior

Me he estado preguntando algo, y podría ser una tontería (¡si es así, pido disculpas!). Considere el disco unitario en$\mathbb{R}^2$y una funcion$f$definido en el disco. Puedo calcular su integral doble como

$$\int_{D(0,1)} f dA = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 f(r,\theta) r dr d\theta$$

por coordenadas polares. Ahora, por separado, considere una función$g$definido en el hemisferio superior de$S^2$(la esfera en$\mathbb{R}^3$. En coordenadas esféricas, puedo calcular su integral sobre esta región como

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta,\phi) \sin(\theta) d\theta d\phi$$

Lo que me pregunto es lo siguiente: dada una función$f$en el disco de la unidad, ¿puedo encontrar una función?$g$en el hemisferio tal que

$$\int_{D(0,1)} f dA = \int_{0}^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(\theta,\phi) \sin(\theta) d\theta d\phi$$

Por supuesto que podría elegir algunos$g$eso satisface eso, pero me preguntaba si había una forma sistemática para cada$f$en el disco de la unidad para asociarlo con un$g$en la esfera tales que sus integrales son iguales.

Hasta ahora, estaba pensando en lo siguiente. Sé que puedo mapear el disco en el hemisferio superior por el mapa$F(x,y) = (x,y, \sqrt{1-x^2-y^2})$. Al principio, ingenuamente, solo pensé en asignar a cada punto de la esfera el valor de$f(x,y)$en el punto correspondiente debajo de él, pero eso falla. Esto enviaría una función constante en el disco a una función constante en el hemisferio, pero sus integrales son diferentes. La integración de una constante en el disco de la unidad solo produciría los tiempos constantes$\pi$, mientras que una constante en el hemisferio superior cuando se integra daría un$2\pi$. Estaría bien con esto si este proceso siempre difería solo por un factor de dos (es decir, podría identificar$g$con$\frac{1}{2} f$), pero no creo que eso funcione.

Pensé que tal vez algún cambio de coordenadas podría funcionar, pero parece que no puedo lograr que funcione. Si alguien pudiera dar una sugerencia o un puntero en la dirección correcta, sería muy útil. No quiero una solución completa, solo un puntero o una referencia que discuta ideas relevantes sería genial. ¡Gracias!