¿Pueden las masas moverse en gravedad 2+1?

Me gustaría entender conceptos básicos de la relatividad general en el espacio-tiempo 2+1. Hasta donde yo sé, GR predice que dicho espacio-tiempo es plano en todas partes excepto en las masas puntuales que crean un déficit angular proporcional a su masa. Flatland con un punto de masa es como la superficie de un cono. Me imagino que cuando uno agrega otras masas puntuales, Flatland se puede plegar en un poliedro (convexo) (entonces existe la restricción sobre las masas totales, ya que el déficit angular total es de 720 grados) (ver nota n. ° 1). Supongo que un Flatlander 2d no notaría (al menos localmente) cruzar los bordes cuando se mueve de una cara del poliedro a otra.

El problema que tengo con este modelo es que cuando un cuerpo pesado que define Flatland se pone en movimiento, su masa debe cambiar y, lo que es más sorprendente desde un punto de vista local, también las masas de los cuerpos vecinos para mantener el total de 720 grados. . La imagen muestra un cubo con un vértice que se mueve a lo largo del borde hasta su centro con los correspondientes déficits angulares.

Por otro lado, sé que Gott (en su máquina del tiempo de dos cuerdas), Caroll, Guth, t' Hooft y otros han considerado seriamente la gravedad 2+1 y el movimiento de masas puntuales. ¿Dónde está el error en mi modelo ingenuo?

Editado : dada la primera respuesta y los comentarios, tal vez debería ser más preciso:

¿Es posible un movimiento que requiera un cambio del déficit angular (y, por lo tanto, de masa) de las masas puntuales circundantes, o solo es posible el movimiento cuando todos los déficits angulares se mantienen constantes? De todos modos, para un Flatender que vive en la superficie del poliedro, la situación parece que hay una interacción entre las masas puntuales, a pesar de que el espacio-tiempo es plano entre ellas. ¿O tal configuración (condición inicial) es simplemente imposible?

Editado : he pasado por alto el hecho de que una masa puntual no puede simplemente "ponerse en movimiento" por un milagro: se debe conservar el impulso total . Lo pensaré y prepararé un mejor ejemplo.

Editado : este artículo de 't Hooft puede contener una respuesta:

La evolución de las partículas puntuales gravitantes en 2+1 dimensiones (pdf)

Gravedad tridimensional de Einstein: dinámica del espacio plano (pdf)

ingrese la descripción de la imagen aquí

Notas (agregadas en ediciones posteriores):

1) Gott & Alpert: Relatividad general en un espacio-tiempo (2+1) dimensional (Gen. Relat. Gravit. 16:243-247, 1984):

"Considere un poliedro convexo con un número finito de caras. Las caras y los bordes no tienen curvatura intrínseca y representan soluciones a las ecuaciones del campo de vacío. Cada uno de los vértices tiene un déficit de ángulo (como el vértice de un cono) y representan masas puntuales. Para Por ejemplo, un universo con la forma de la superficie de un cubo representa un vacío con 8 masas puntuales de METRO = π / 2 cada uno (tres cuadrados se encuentran en cada vértice dando a cada uno un déficit de ángulo de π / 2 ). El universo estático de Einstein de la ecuación (6) puede aproximarse mediante un poliedro de muchas caras que contiene muchos vértices, cada uno con pequeños déficits de ángulo. La masa total en un universo tan cerrado es siempre METRO tu = 4 π ."

En mi opinión, también hay algunos poliedros no convexos que funcionan bien.

El poliedro es una especie de caso especial (porque implica un volumen finito). ¿Por qué no considerar las dos primeras partículas puntuales con un pequeño déficit angular? Esto podría mapearse en un plano 2d (tiempo de tiempo) con dos cortes cortados (y pegados a lo largo de la línea de corte)
@ user23660 Porque en tal caso solo hay un límite superior del déficit angular total y, por lo tanto, de la masa (en Flatland abierto): 360 grados (de lo contrario, no puede desplegar Flatland sin superponerse). Entonces entiendo que las dos partículas pueden moverse libremente.
Entonces, lo que está preguntando es si la compacidad del espacio-tiempo multicónico (es decir, poliedro) implicaría restricciones adicionales.
@ user23660 Supongo que sí :-)
Para el caso mínimo de 4 partículas (tetraedro) los déficits angulares de los vértices definen el tetraedro hasta el reescalado. El único movimiento permitido es la ampliación (o contracción) del tetraedro (una especie de expansión cosmológica).
Pero agregar la quinta partícula también agrega dos grados de libertad adicionales: hay deformaciones además del cambio de escala (preservar los déficits). Su ejemplo del cubo tiene aún más grados de movimiento (escalado a lo largo de un eje, por ejemplo). Entonces, podemos suponer que más partículas (y menos déficit para cada una) significan más grados de movimiento, por lo que en el límite de infinitas partículas, el número de grados de libertad por partícula sería como para el caso no gravitante (2 grados por partícula ).
¡Ups! Después de reflexionar, me di cuenta de que el tetraedro tiene una deformación de 3 parámetros que preserva el déficit de ángulo de los vértices (un parámetro corresponde a la transformación de similitud). Entonces, la suma de cada vértice siguiente agrega dos grados de libertad más.
@ user23660 En cierto sentido, el poliedro mínimo tiene 3 vértices, imagine un tetraedro aplanado a un volumen cero, el cuarto vértice tiene un déficit angular de 0, en otras palabras, puede eliminarlo.
Sí, y para este sistema de 3 partículas la única evolución permitida es la expansión cosmológica con dependencia lineal del factor de escala en el tiempo ( a ( t ) = C ( t − t 0 ) ).
@ user23660 ¿Por qué solo es posible la evolución lineal?
Porque no hay fuerzas para alterar la velocidad. Ese aspecto es totalmente equivalente al caso abierto.

Respuestas (1)

La geometría diferencial predice que el tensor de Weyl se desvanece en 2+1 dimensiones. La relatividad general predice que la curvatura de Ricci se desvanece en el vacío, es decir, sin fuerzas a distancia. Por lo tanto, la aceleración debida a la gravedad aún puede existir en el espacio-tiempo tridimensional, pero solo en una región con un tensor de energía de tensión distinto de cero.

Parece que la pregunta del OP está formulada en términos de espacio-tiempo discreto al estilo Regge, por lo que en este contexto, ¿su afirmación de que el espacio-tiempo es plano en todas partes, excepto en los vértices que llevan puntos de masa, sería correcta?
@twistor59: Seguramente, sí, ya que el SEM Tensor no se desvanece en esos puntos.
Me temo que no entiendo muy bien la respuesta, pero me parece que su razonamiento no se limita a Flatland cerrado (donde la suma total de los déficits angulares es igual a 720 grados). ¿Significa que la máquina del tiempo Gott que usa dos cuerdas cósmicas es imposible simplemente porque la cuerda (que es análoga a la masa puntual o los vértices aquí) no puede moverse entre sí?
No veo el razonamiento detrás de la frase "Entonces, para responder a su pregunta, las masas no podrían moverse a menos que estén en algún lugar dentro de la Tierra" . ¿Por qué para mover la masa tiene que estar en algún espacio-tiempo curvo? La partícula puntual puede moverse en un espacio-tiempo plano independientemente de la presencia de gravedad y el tipo peculiar de tal gravedad no debería excluir tal movimiento (solo cambie las interacciones entre tales partículas).
@user23660: Ah, sí, tienes razón. Quise decir que no pueden acelerar debido a la gravedad, lo arreglé.
@LeosOndra: Correcto. Se aplica a todos los espacio-tiempos de 2+1 dimensiones.
Bueno, en caso de GR normal, R m v = 0 en el punto P no implica geometría plana en ese punto. Y en realidad los objetos se aceleran bien en regiones, donde R m v = 0 .
@AlexeyBobrick: Pero en 2+1 R m v = 0 implica R m v λ ρ = 0 . Entonces la geometría es plana.
Quizás debería aclarar que no estoy interesado en el movimiento acelerado debido a la presencia de las otras masas puntuales sino en la posibilidad de cualquier movimiento.
@LeosOndra: tal movimiento es posible incluso para poliedros convexos siempre que haya suficientes vértices, solo que la cantidad de grados de libertad será menor que en el espacio abierto (no compacto).
@LeosOndra: No veo el problema con el movimiento general. Tienes movimiento en relatividad especial muy bien. Si le preocupa la discontinuidad, no necesariamente necesita bordes afilados para su distribución de materia, puede hacer que la función y un número arbitrario de derivadas lleguen a cero en el borde de su distribución de materia.
¿Pueden las masas moverse en gravedad 2+1?
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