Constante dieléctrica y conductividad en la ecuación macroscópica de Maxwell

En mi clase de física experimental estamos viendo las ecuaciones de Maxwell en la materia (ecuaciones macroscópicas de Maxwell) y hay un punto desde donde saltamos

Nos dijeron que el paso es trivial y que deberíamos mirarlo en nuestro tiempo libre. Mi pregunta sería, ¿cómo llego de la primera ecuación a la segunda?

Si no me equivoco un metal puede ser considerado como un material con constante dieléctrica$\hat{\epsilon}_{bound}$debido a los electrones enlazados y una conductividad$\hat{\sigma}$debido a los electrones libres. Ambos deben ser dependiendo de la frecuencia.$\hat{\epsilon}_{bound}(\omega),\hat{\sigma}(\omega)$. Mirando la primera ecuación$\vec D_{bound}$se debe a los electrones enlazados y$\vec j$se debe a los electrones libres y en notación compleja,$\hat{\vec{E}}=\vec{E}_0\cdot e^{-i\omega t}$es el campo eléctrico de una onda plana con frecuencia$\omega$. No sé si es importante, pero miramos un metal como un dieléctrico con una constante dieléctrica.$\hat{\epsilon}(ω) = \hat{\epsilon}_{bound}(ω) + \hat{\epsilon}_{free}(ω)$, dónde$\hat{\epsilon}_{free}(ω)$es la contribución de los electrones libres. Esa no es parte de la pregunta, pero también me interesaría saber cómo se relacionan la constante dieléctrica y la conductividad.