Una esfera dieléctrica en un campo eléctrico inicialmente uniforme y teoría de representación de SO(3)

Recientemente aprendí que el armónico esférico de orden más alto requerido para representar la distribución espacial de los productos de descomposición de una partícula se puede usar para determinar su giro, usando argumentos que involucran la teoría de representación de SO(3)/adición de momento angular.

Busco un argumento similar para el problema bien estudiado de una esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme. Esto está, por ejemplo, resuelto en Electrodinámica de Griffiths, sección 4.7 en la Tercera Edición (estoy usando una Edición de Bajo Precio de India, donde está en la página 205). Concluye al final de ese problema que "el campo interior es (sorprendentemente) uniforme".

Tengo la sensación de que este resultado es menos sorprendente cuando se aplican ideas de la teoría de la representación SO(3), pero no estoy seguro de cómo formular el argumento con precisión. Aquí está mi tren de pensamiento suelto: el campo es un campo vectorial con una dirección específica, por lo que tiene una unidad de momento angular (o está dado por un yo = 1 armónico esférico). Por lo tanto, la carga superficial inducida en la esfera dieléctrica debe estar dada por PAG 1 ( porque ⁡ θ ) = porque ⁡ ( θ ) . El campo interior es un campo vectorial que se origina a partir de estas cargas, por lo que nuevamente debe ser uniforme.

También estoy tratando de usar esto para determinar el orden más alto (es decir, el más alto yo ) componente de Y yo metro en el campo eléctrico total después de tener en cuenta la polarización de la esfera.

Respuestas (1)

La presencia del campo eléctrico externo rompe S O ( 3 ) a S O ( 2 ) . Suponer que mi está orientada a lo largo de la z -eje, luego rotaciones sobre el z -eje (por supuesto, elegido para pasar por el centro de la esfera) es una simetría en el problema. Este S O ( 2 ) la invariancia sólo implica que el potencial es independiente de φ , el ángulo polar. Así, se tiene que el potencial escalar tiene la forma: Φ ( ρ , z ) (en coordenadas polares cilíndricas) o Φ ( r , θ ) (en coordenadas polares esféricas).

Ahora se puede usar la solución más general de la ecuación de Laplace fuera de la esfera dieléctrica, por ejemplo, para ver que la φ independencia establece todos los términos que involucran Y yo metro para metro ≠ 0 a cero. Son las condiciones de contorno, esa fuerza yo > 1 armónicos a desaparecer. Entonces eso no se sigue de consideraciones de simetría.

Editar: el campo eléctrico en el infinito espacial se traduce en la condición de contorno de la ecuación de Laplace ϕ = − mi R porque ⁡ θ en una gran esfera de radio R que en el limite R → ∞ se convierte en infinito espacial. Esto obliga a todos yo > 1 desaparezcan los armónicos (en la región fuera de la esfera dieléctrica) sin más cálculos.

Lo que dices me queda claro. Lo que estoy pensando en el fondo de mi mente es lo siguiente: tenemos Wigner-Eckart thm. en QM que trata con operadores de "momento angular definido" o en otras palabras, operadores que son irrepetibles de SO(3). Estoy tratando de llegar a algo similar aquí. Piensa en un operador L que toma campo electrico mi 0 que existía antes de que se pusiera el dieléctrico, y devuelve el campo eléctrico dentro de la esfera mi en = L mi 0 . Ahora, quiero decir que L transforma como un tensor y utilícelo para ver cómo la 'l' más alta en E_0 se relaciona con la 'l' más alta en E_{in}
Buen punto. Permítanme tratar de reformular lo que está diciendo de la siguiente manera: ¿Podemos usar el hecho de que mi se transforma como un vector bajo S O ( 3 ) para mostrar que los armónicos superiores no pueden contribuir al potencial escalar? Eso podría funcionar, pero necesito pensarlo un poco más.
Una esfera dieléctrica en un campo eléctrico inicialmente uniforme y teoría de representación de SO(3)
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