¿Cómo se mide la permitividad compleja?

Primero haga un capacitor de placas paralelas con placas de área A y espaciado d. Rellene el espacio entre las placas con el dieléctrico cuya permitividad compleja$\epsilon(\omega)$desea medir.

La fórmula para esta capacitancia es una función compleja de la frecuencia porque la permitividad es una función compleja de la frecuencia.

Ahora desde un generador de señal poner un voltaje$V sin(\omega t)$a través de Z, mida la amplitud ($I(\omega)$) y cambio de fase ($\delta(\omega)$) de la corriente$I(\omega) sin(\omega t - \delta(\omega))$que fluye a través de Z, y use la ley de Ohm para calcular la impedancia compleja.

Hay instrumentos comerciales llamados medidores LCR o analizadores de red que tienen un generador de señal incorporado y se utilizan para medir impedancias complejas como se describe anteriormente.

Este método funcionará a aproximadamente 1 GHz. El estudio de la transmisión y la reflexión en una guía de ondas llena de dieléctrico funcionará para aproximadamente 1-10 GHz. La transmisión de luz infrarroja, visible y ultravioleta y la reflexión del dieléctrico se pueden utilizar a frecuencias más altas. Recuerde que el índice de refracción también es complejo y está relacionado con$\epsilon$por:

Usa la ecuación de onda$(\frac{1}{\epsilon \epsilon_0 \mu \mu_0} \vec{\nabla}^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2}) A = 0$y su solución, es decir, ondas planas$A = A_0 \exp(\imath ( \omega t - \vec{k} \vec{x}))$con$||\vec{k}|| = \frac{\omega}{\sqrt{\epsilon \epsilon_0 \mu \mu_0}}$. En palabras: Lo que ya sabías era que la (parte real del) vector de ondas,$\mathrm{Re} (||\vec{k}||)$(y por lo tanto la longitud de onda), indica la parte real$\epsilon^\prime$de$\epsilon = \epsilon^\prime + \imath \epsilon^{\prime\prime}$. Lo que se ve aquí con la misma naturalidad es que su parte imaginaria está relacionada con$\epsilon^{\prime\prime}$. Hace que el exponencial puramente oscilatorio contenga una caída exponencial. Al medir su longitud de escala (o la atenuación y calcularla a partir de eso), puede obtener la cantidad que buscaba ópticamente. En un rango de frecuencia o con coeficientes de absorción donde no opera con ondas, puede medir una pérdida análoga en cualquier configuración (¿condensador de placa?) que elija para eso.

La parte imaginaria de la permitividad es una medida de la pérdida en el sistema. En alguna literatura, verá una referencia a la "tangente de pérdida": esta es, en esencia, la relación de las partes real e imaginaria de la constante dieléctrica. La forma más sencilla de medir esto es colocar la muestra de interés en una cavidad (por ejemplo, convertirla en el dieléctrico de un capacitor) y barrer la frecuencia aplicada. Luego mide la amplitud y la fase de la corriente.

Para un dieléctrico perfecto, el componente imaginario de la constante dieléctrica es cero y habrá una diferencia de fase de 90° entre el voltaje aplicado y la corriente que fluye. Sin embargo, en el momento en que tiene un medio con pérdidas, el ángulo de fase cambia (hacia cero grados: una resistencia es un "condensador con pérdidas perfectas" en este sentido).

La fase y la amplitud de una señal se pueden medir con bastante precisión. De esto obtienes la impedancia compleja.

Relacionar esto con las propiedades del dieléctrico es tan simple como

Combinando estos, obtenemos

Dónde$I$y$V$son números complejos. Si solo conoces el ángulo de fase$\phi$entre$I$y$V$, puedes simplificar un poco las matemáticas escribiendo como

Cuando$\phi=\frac{\pi}{2}$, todos los términos complejos desaparecen y te queda una expresión simple (constante dieléctrica real, es decir, sin disipación); como$\phi$se vuelve menor que eso, aparece el término imaginario.