¿Cuál es la interpretación geométrica del tensor de Einstein Rμν−12gμνRRμν−12gμνRR_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R?

TL;RD:

$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$está implícito en la siguiente declaración: no hay cargas magnéticas gravitatorias.

Respuesta larga

Siempre ayuda cuando se trata de intuir algo compararlo con otras cosas para las que ya se tiene intuición.

Comencemos con el electromagnetismo. Esto se describe en términos de una intensidad de campo$F_{\mu\nu}$que satisface la identidad de Bianchi

También podemos extender esto junto a las teorías de calibre no abelianas, donde la identidad de Bianchi toma una forma un poco más complicada.

APARTE: si no está familiarizado con las teorías de calibre no abelianas, simplemente piense en$A_\mu$como una matriz con elementos$(A_\mu)^a{}_b$y$[A,B] = AB-BA$denota conmutación matricial. La intensidad de campo se define en términos de$A$como

Habiendo entendido esta intuición, ¡vayamos al caso gravitacional! Aproximadamente, el símbolo de Christoffel$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$es nuestro campo de calibre no abeliano (piense en ello como$(A_\mu)^\lambda{}_\nu = \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$y el tensor de Riemann es nuestra intensidad de campo,

La identidad de Bianchi para el tensor de Riemann es

La conservación del tensor de Einstein es solo una contracción de la identidad de Bianchi anterior (pruébelo contrayendo la identidad con$g^{\alpha\rho} g^{\mu\sigma}$).

PD: esta respuesta parece sugerir que la gravedad es solo un tipo particular de teoría de calibre no abeliana. De hecho, este no es el caso debido a otras cuestiones. Sin embargo, la presentación aquí es buena para la intuición.

TL;DR- La relatividad general (GR) se basa en la invariancia de coordenadas generales; esto significa que la física es invariante bajo una transformación general de coordenadas (GCT). Esta invariancia implica las identidades de Bianchi contraídas ($\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$), que a su vez nos dan restricciones en las ecuaciones de movimiento. Necesitábamos algunas restricciones de todos modos ya que permitimos GCT arbitrario al principio. Que las ecuaciones de campo de Einstein no determinan$g_{\mu \nu}$únicamente, pero sólo hasta$4$transformaciones de coordenadas arbitrarias, se explica por las identidades de Bianchi contraídas.

Ignorar factores de$16$y$\pi$a lo largo de la respuesta, la acción de Einstein-Hilbert es

Bajo variaciones arbitrarias de la métrica,$\delta g^{\mu \nu}$, el principio de mínima acción$\delta S=0$nos da las ecuaciones de Einstein de movimiento en el vacío:$G_{\mu \nu}=0$. (Puede repetir el procedimiento agregando un Lagrangiano de materia). Entonces$G_{\mu \nu}$es la parte libre de fuente de las ecuaciones de movimiento para el campo métrico$g_{\mu \nu}$. En$3+1$dimensiones,$G_{\mu \nu}$es el único tensor (aparte del propio tensor métrico) que se construye a partir de$g_{\mu \nu}$y sus derivadas primera y segunda, es simétrico en sus dos índices y está libre de divergencias ( teorema de Lovelock ). En dimensiones superiores,$G_{\mu \nu}$ya no es único, si permite funciones no lineales de las segundas derivadas de la métrica. Pero si permite solo funciones lineales de segundas derivadas de la métrica,$G_{\mu \nu}$sigue siendo único.

Pero sin apresurarse a obtener las ecuaciones de movimiento, puede obtener información útil simplemente a partir de la forma de la variación de la acción en$(1)$.

GR debe ser invariante bajo GCT, entonces$S$debe ser invariante bajo GCT$\Rightarrow \delta S = 0$bajo GCT:$x \rightarrow x'$. ¿Qué podría decirnos esto? Es suficiente considerar infinitesimal GCT. Entonces, supongamos

Bajo este GCT infinitesimal, evalúe la variación del campo del tensor métrico,

Tenga en cuenta la simetría de los índices$\mu, \nu$. Sustituto$(2)$en$(1)$Llegar

Integrando por partes y usando el teorema de Gauss se obtiene

Recordando eso$\epsilon_\mu$es arbitrario en$V$y eso$\epsilon_\mu = 0$en$\partial V$, vemos que preguntando por la invariancia de la acción,$\delta S=0$, bajo GCT implica

ecuaciones de einstein$G_{\mu \nu} = T_{\mu \nu}$parece que implican que hay$10$ecuaciones para$10$incógnitas en$g_{\mu \nu}$. Pero esa no es la historia completa. Dado que se nos permite hacer GCT, las ecuaciones de Einstein no determinan de manera única$g_{\mu \nu}$, pero solo hasta$4$transformaciones de coordenadas arbitrarias. El$4$ecuaciones en$\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$proporciona el eslabón perdido. Reescribir explícitamente las identidades de Bianchi en términos de los componentes temporales de$G^{\mu \nu}$, vemos

La divergencia del tensor de Ricci es idénticamente$\nabla^\mu R_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g_{\mu \nu} R$, como consecuencia de las identidades de Bianchi. Entonces, el tensor de Einstein es , por construcción, el tensor de Ricci menos su divergencia. De hecho, aunque no es obvio, el teorema de Lovelock implica que el tensor de Einstein es el único tensor libre de divergencia que depende únicamente de$g_{ab}$y sus dos primeras derivadas. Creo que eso es lo más cercano a una comprensión "intuitiva" que realmente existe.

Esto en sí mismo es una cuestión de geometría y no tiene nada que ver con la física. Luego, la física motiva por qué debemos preocuparnos por las propiedades antes mencionadas: si queremos acoplar la métrica a un tensor de rango dos libre de divergencias (es decir, el tensor de tensión-energía), y para que los problemas físicos de valores iniciales requieran solo el conocimiento de la `` posición y velocidad", y para que la física sea manifiestamente invariante en coordenadas, entonces el tensor de Einstein es el único juego disponible.

Vale la pena señalar que la teoría original de la gravedad de Einstein, la teoría "Entwurf", de hecho usaba las ecuaciones de campo

que tenía que estar acoplado a una condición coordinada que hacía cumplir que$R_{\mu \nu}$estar libre de divergencias. Esto es idéntico a la relatividad general en el vacío y, de hecho, es la teoría que usó Einstein para predecir la precesión del perihelio de Mercurio. El tensor de Einstein se introdujo para restaurar la invariancia de coordenadas completa al tener$\nabla^\mu T_{\mu \nu} = 0$aplicada al nivel de las ecuaciones de campo.

A riesgo de ser rechazado, sin buenos argumentos, puedo decirle que puede entender estas ecuaciones como ecuaciones relativistas para una dinámica de fluidos, por lo que la ecuación G puede verse como una especie de ecuación de continuidad. Indica conservación de energía-momento. Mi consejo: google dinámica de fluidos relativista.