¿Por qué la curvatura del espacio-tiempo causaría la gravedad?

Está bien decir que para un objeto que pasa volando por un objeto masivo, el espacio-tiempo es curvado por el objeto masivo, por lo que el objeto que pasa volando sigue la trayectoria curva de la geodésica, por lo que "parece" estar experimentando una aceleración gravitacional. ¿También decimos junto con eso, que el objeto que pasa volando en realidad NO experimenta fuerza de atracción hacia el objeto masivo? ¿Está simplemente siguiendo la curva geodésica del espacio-tiempo sin experimentar ninguna fuerza de atracción?

Ahora pasemos al otro tema: supongamos que dos objetos están en reposo uno respecto del otro, es decir, que no siguen ninguna geodésica del espacio-tiempo. Entonces, ¿por qué experimentarán atracción gravitatoria entre sí? Por ejemplo, ¿por qué una manzana caerá a la tierra? ¿Por qué no se sentará allí en su posición original muy por encima de la tierra? ¿Cómo hace que la curvatura del espacio-tiempo experimente una fuerza de atracción hacia la Tierra y por qué tendríamos que ejercer una fuerza en dirección inversa para evitar que caiga? ¿Cómo causa esto la curvatura del espacio-tiempo?

Cuando la manzana se desprendió de la rama del árbol, estaba estacionaria, por lo que no tenía que seguir ninguna curva geodésica. Así que no podemos decir simplemente que cayó a la tierra porque su curva geodésica atravesó la tierra. ¿Por qué la curvatura del espacio-tiempo hizo que comenzara a moverse en primer lugar?

Siempre me he preguntado acerca de esto (y relacionados). ¡ Esto es tan dejado de lado en las explicaciones populistas!
Esta pregunta exacta me estaba desconcertando en mi camino a casa ayer, y mis hijos se preguntaban por qué estaba trazando curvas en el aire sobre el volante :)
La curvatura del espacio-tiempo no "causa" la gravedad. La curvatura del espacio-tiempo es la gravedad.
De acuerdo con EvilSnack, tengo que sugerir que el OP mire los minutos 8 a 10 del video en youtube.com/channel/UCpMcsdZf2KkAnfmxiq2MfMQ , que ilustra el hecho de que es la órbita de Mercurio girando alrededor del sol. que proporcionó la primera confirmación de la Relatividad General. La gravedad newtoniana había sido suficiente para explicar la órbita de los planetas y las lunas, pero la explicación de la rotación de una órbita tomó GR, ya que entraba en conflicto con la noción de la gravedad como una "fuerza" antropomórfica, por muy sutiles y tenues que puedan parecer las curvaturas de cerca. rango.
Como el OP visitó este sitio recientemente, debo mencionar que tuve que retirar un comentario mío anterior que incluía el comentario de que "nuestro movimiento a través del tiempo es completamente pasivo", porque podemos acelerar nuestro movimiento y cualquier aceleración. provoca la dilatación del tiempo, aunque dudo que la infinitesimal dilatación provocada por la aceleración de su movimiento por parte de cualquier persona que camina sea perceptible por cualquier medio actualmente disponible.

Respuestas (6)

Para comprender realmente esto, debe estudiar la geometría diferencial de las geodésicas en espaciotiempos curvos. Intentaré dar una explicación simplificada.

Incluso los objetos "en reposo" (en un marco de referencia dado) en realidad se están moviendo a través del espacio-tiempo, porque el espacio-tiempo no es solo espacio, sino también tiempo: Apple está "envejeciendo", moviéndose a través del tiempo. La "velocidad" a través del espacio-tiempo se llama velocidad de cuatro y siempre es igual a la velocidad de la luz. El espacio-tiempo en el campo gravitatorio es curvo, por lo que el eje del tiempo (en términos simples) ya no es ortogonal a los ejes del espacio. La manzana que se mueve primero solo en la dirección del tiempo (es decir, en reposo en el espacio) comienza a acelerar en el espacio gracias a la curvatura (la "mezcla" de los ejes del espacio y el tiempo): la velocidad en el tiempo se convierte en velocidad en el espacio. La aceleración ocurre porque el tiempo fluye más lento cuando el potencial gravitatorio está disminuyendo. Apple se está adentrando más en el campo gravitacional, por lo tanto, su velocidad en la "dirección del tiempo" está cambiando (a medida que el tiempo se vuelve más y más lento). La velocidad de cuatro se conserva (siempre igual a la velocidad de la luz), por lo que el objeto debe acelerar en el espacio. Esta aceleración tiene la dirección de gradiente gravitacional decreciente.

Editar : según los comentarios, decidí aclarar qué es la velocidad de cuatro:

4-velocidad es un cuatro vector, es decir, un vector con 4 componentes. El primer componente es la "velocidad a través del tiempo" (cuánto del tiempo coordinado transcurre por 1 unidad de tiempo propio). Los 3 componentes restantes son el vector de velocidad clásico (velocidad en las 3 direcciones espaciales).

tu = ( C d t d τ , d X d τ , d y d τ , d z d τ )

Cuando observa la manzana en su marco de reposo (la manzana está en reposo - velocidad espacial cero), toda la 4-velocidad está en la "velocidad a través del tiempo". Es porque en el marco de reposo el tiempo coordenado es igual al tiempo propio, por lo que d t d τ = 1 .

Cuando observas la manzana desde algún otro marco de referencia, donde la manzana se mueve a cierta velocidad, el tiempo de coordenadas ya no es igual al tiempo propio. La dilatación del tiempo hace que haya menos tiempo propio medido por la manzana que el tiempo de coordenadas transcurrido (el tiempo de la manzana es más lento que el tiempo en el marco de referencia desde el que estamos observando la manzana). Entonces, en este marco, la "velocidad a través del tiempo" de la manzana es más que la velocidad de la luz ( d t d τ > 1 ), pero la velocidad a través del espacio también está aumentando.

La magnitud de la 4-velocidad siempre es igual a c, porque es un invariante (no depende de la elección del marco de referencia). Se define como:

‖ tu ‖ = C 2 ( d t d τ ) 2 − ( d X d τ ) 2 − ( d y d τ ) 2 − ( d z d τ ) 2 2

Observe los signos menos en la expresión: estos provienen de la métrica de Minkowski. Los componentes de la velocidad 4 pueden cambiar cuando cambia de un marco de referencia a otro, pero la magnitud permanece sin cambios (todos los cambios en los componentes se "cancelan" en la magnitud).

¿Puede comentar por qué la velocidad de cuatro es siempre la velocidad de la luz?
@GreenAsJade: la velocidad de cuatro se define comúnmente como tu i = d X i d τ . Escrito como un vector de cuatro, parece tu → = γ ( C , v ) , con γ = ( 1 − v 2 / C 2 ) − 1 / 2 . Su longitud al cuadrado es entonces γ 2 ( C 2 − v 2 ) , que es igual a C 2 .
¿Podría pedir una aclaración si la velocidad a la que se hace referencia en esta respuesta es la velocidad adecuada o no? Inicialmente en t=0, la manzana está en reposo y creo que una medida de velocidad será igual a c, mientras que la otra no. En el último caso, parecería que la velocidad de cuatro, de hecho, no es igual a c. Quizás debería enviar una pregunta por separado, ya que esto es más detallado que la intención del OP.
¿Significa esto que las partículas que atraviesan el espacio a la velocidad de la luz no atraviesan el tiempo? ¿Los electrones no tienen edad?
@PålGD: Correcto, las partículas que se mueven a la velocidad de la luz no envejecen. Por lo tanto, la "delación del tiempo" mencionada en las cosas de los viajes espaciales, donde viajan un largo camino pero no pasa mucho tiempo.
@AlanSE: la velocidad "adecuada" es tridimensional, esta publicación trata casi por completo con (lo que él llamó) "cuatro velocidades". La "cuatro velocidades" es siempre igual a la velocidad de la luz. En t=0, la manzana se mueve "a la velocidad de la luz" a través del tiempo .
@MooingDuck Cuando dices que se mueve a través del tiempo a la velocidad de la luz, ¿según qué marco de referencia es esto? ¿Ningún? Eso no sería consistente con la dilatación del tiempo. Así que esto todavía no está resuelto.
Según tengo entendido, la luz se mueve a "la velocidad de la luz" en todos los marcos de referencia, lo cual es parte de por qué (¿general? ¿Especial?) La relatividad es tan extraña. Rompe las reglas normales. Sin embargo, esto está justo al borde de mi comprensión de la física, por lo que podría ser 100% incorrecto.
@AlanSE La manzana se mueve a través del tiempo a la velocidad de la luz solo en el marco de referencia donde la manzana está en reposo (espacialmente). En algún otro marco de referencia (donde la manzana tiene cierta velocidad espacial) su velocidad a través del tiempo es más lenta. La cuadrivelocidad es un vector que tiene 4 componentes. Todos estos componentes pueden variar entre marcos, pero la magnitud de este vector de 4 permanece sin cambios (siempre es igual a c).
@PålGD Las partículas que se mueven a la velocidad de la luz (en el espacio) de hecho no envejecen, porque su tiempo propio es cero (debido a la dilatación del tiempo). Pero esto no se aplica a los electrones (que mencionas en tu comentario), porque los electrones no se mueven a la velocidad de la luz. Se aplica a los fotones.
@mpv Usted afirma que la velocidad 4 tiene una magnitud de c en todos los marcos de referencia. Si el componente de tiempo no es igual a c, eso significa que un componente espacial debe ser distinto de cero. En el caso de la manzana, ¿cuál? ¿No todos los marcos de referencia están de acuerdo en que está en reposo (usando la métrica de schwarzschild para el observador lejano)?
@AlanSE No estoy seguro de entender el problema. Esta es la transformación básica. Si el componente de tiempo es menor que c, los componentes espaciales lo compensarán para hacer que la magnitud sea exactamente c. ¿Qué componentes en particular? Depende del marco de referencia elegido. En un cuadro que se mueve en c/2 a lo largo del eje y, la componente y de la velocidad 4 de la manzana será -c/2. En otro marco serán otros componentes. La manzana no está en reposo en todos los marcos de referencia. Hay muchos fotogramas en los que la manzana se mueve en varias direcciones a distintas velocidades.
Seguramente debes tener d t d τ > 1 en un marco donde la manzana tiene una velocidad distinta de cero? Entonces, el tiempo propio medido por la manzana es menor que el tiempo de coordenadas transcurrido.
@mpv Ahora ha establecido que un observador en r = infinito en las coordenadas de schwarzschild percibe que la manzana tiene una velocidad. Pero estos no son marcos de referencia en movimiento . Digamos que tenemos A,B,C, que son Newton, la manzana y los extraterrestres. Los extraterrestres son estacionarios en relación con la Tierra y Newton. En t=0, B es estacionario con respecto a A. Entonces, si acepto su posición, B debe ser no estacionario con respecto a C, pero esto es claramente incorrecto. Incluso si la superficie de la Tierra no fuera estacionaria para un observador lejano, existe cierta velocidad ascendente/descendente en la que es estacionaria y dilatada gravitacionalmente en el tiempo.
@AlanSE No estoy seguro de cómo llegas a tales conclusiones. Si A,B,C están estacionarios entre sí, no se mueven entre sí. Eso es elemental. ¿Cómo mi respuesta sugiere algo más? Todo lo que digo es que si estableces un marco de referencia que se mueve con respecto a la manzana, entonces la manzana tiene una velocidad espacial en dicho marco. Eso todavía es elemental. No estoy hablando de observadores en el infinito, solo marcos de referencia. Le sugiero que ingrese eso como una pregunta separada, porque parece difícil de aclarar en un comentario.
@SimonWoods Tienes razón. Edité la respuesta para reflejar eso. ¡Gracias por la captura!
@mpv De hecho, puedo enviar esa pregunta. Veo el punto de mover a los observadores, y estoy de acuerdo en que el vector de 4 siempre tiene una longitud de c en ese sentido de relatividad especial. Mi problema es que un objeto que cae en la parte superior de su trayectoria parabólica parece no tener la misma propiedad. En este momento, mi corazonada es que la resolución es más profunda que lo que hemos discutido aquí, y está contenida en la no ortogonalidad del eje de tiempo que discutiste, lo que lleva a que los observadores no estén de acuerdo sobre lo que constituye la parte superior del arco de la manzana. Pero esto todavía no resuelve la otra objeción que mencioné.
Si les estoy explicando a los niños, ¿es correcto decir que hay 4 dimensiones y que la gravedad hace que el movimiento a lo largo de la 4 (tiempo) se transfiera a las otras tres, conservando la velocidad general? En la gravedad infinita, el movimiento a través del tiempo se detiene y la velocidad de caída es la velocidad de la luz.
Gran respuesta +1. Lo único que posiblemente se puede agregar es que lo que llamamos "la velocidad de la luz" es en realidad la velocidad del tiempo. Esto facilita la comprensión de por qué siempre nos movemos en el espacio-tiempo con la velocidad del tiempo, porque nos movemos en el tiempo en nuestro marco de reposo. Esto también da la intuición de la dilatación del tiempo de velocidad en SR: cuanto más nos acercamos a la velocidad del tiempo, más lento nos movemos en relación con el movimiento del tiempo.
"El tiempo fluye más lento" y "el tiempo se vuelve cada vez más lento" sugieren que el tiempo en sí mismo es equivalente al paso a través de él. ¿No sería más correcto decir que "la duración del paso por el tiempo aumenta" y "la duración del paso por el tiempo aumenta cada vez más", para preservar el concepto de tiempo como una dimensión (más que una sustancia o energía) más claramente?
@mpv si la magnitud de la velocidad 4 es siempre la velocidad de la luz, entonces, ¿cómo puede la manzana en su ejemplo cuando dice: "en este marco, la" velocidad a través del tiempo "de la manzana es más que la velocidad de la luz
d t / d τ > 1
, pero la velocidad a través del espacio también está aumentando: tiene una velocidad a través del tiempo que es mayor que
d t / d τ > 1
?

Cuando la manzana se desprendió de la rama del árbol, estaba estacionaria, por lo que no tenía que seguir ninguna curva geodésica.

Incluso cuando está en reposo en el espacio, la manzana sigue avanzando en el espacio-tiempo. Aquí hay una visualización de la manzana que cae en un espacio-tiempo distorsionado:

http://www.youtube.com/watch?v=DdC0QN6f3G4

Siempre lo he visualizado como la manzana sostenida por el tallo en la parte superior de un valle, cuyo fondo es el pozo de gravedad/centro de masa de la Tierra. El tallo se rompe y la manzana rueda cuesta abajo hacia la gravedad del "valle". La animación es muy buena, pero me pregunto por qué el espacio-tiempo se está desviando de la dirección de la gravedad de la Tierra. (Creo que lo estoy interpretando correctamente porque las flechas de fuerza del tallo/rama apuntan en dirección opuesta al centro de la Tierra, y se muestra que esa dirección es el centro de la curva del gráfico de espacio-tiempo).
Este es un gran video...
@PatrickM Es porque te han engañado. La imagen del pozo de gravedad es buena para mostrar el potencial gravitatorio (clásico) y las geodésicas. No representa cómo se curva el espacio-tiempo, lo que sería difícil de mostrar para cualquier dimensión espacial > 1. Por lo tanto, el video de Apple es el único ejemplo legítimo que he visto de lo que realmente significa la curvatura. Nótese aquí que la dimensión espacial no está curvada en absoluto, pero la dimensión del tiempo sí lo está, que está cerca de cómo es en realidad bajo GR.

En cuanto al primer párrafo, la gravedad se manifiesta como desviación geodésica ; las geodésicas inicialmente paralelas no permanecen paralelas.

Dado que, para una partícula en caída libre, la aceleración adecuada (la lectura de un acelerómetro unido a la partícula) es cero , es correcto decir que una partícula cuya línea de mundo es una geodésica no tiene aceleración propia.

Pero no es correcto decir que una partícula en caída libre no tiene aceleración coordinada .

Con respecto al segundo párrafo, si la línea de palabra de una partícula no es una geodésica, la partícula tendrá una aceleración adecuada, el acelerómetro de la partícula no marcará cero. Dos partículas que impiden caer una hacia la otra tendrán peso .

Con respecto al tercer párrafo, creo que necesitas afinar tu concepción de las mundos y las geodésicas. Si existe una partícula , tiene una línea de mundo y la línea de mundo de una partícula que cae libremente es una geodésica incluso si la partícula está momentáneamente estacionaria.

No todo necesita seguir la curvatura geodésica del espacio-tiempo disponible. Con una fuerza externa, puede evitar que una partícula siga la curvatura del espacio-tiempo. Solo las partículas que caen "libremente" siguen la curvatura del espacio-tiempo disponible para ellas. Entonces, cuando ves un objeto estacionario que no sigue la curvatura del espacio-tiempo, es porque una fuerza externa le impide ir a su trayectoria de inercia... Es decir, no está en "caída libre".

Ven a Apple: en términos de espacio-tiempo, nada está en reposo. Una manzana, cuando está unida a un árbol, también está en movimiento. Pero, el movimiento existe completamente en el tiempo con cero componente espacial. Este movimiento NO está de acuerdo con la curvatura del espacio-tiempo disponible porque las fuerzas externas que sostienen la raíz de Apple se oponen a él a nivel microscópico. Cuando estas fuerzas externas dejan de funcionar, Apple comienza a seguir la curvatura del espacio-tiempo que convierte el componente de tiempo del movimiento en componente de espacio. Es por eso que la aceleración de Apple es simplemente un movimiento de inercia. Puede ver la eliminación del componente de tiempo del movimiento en Gravitational Time Dilation.

Imagina que estás en el hemisferio norte de la Tierra (asumiendo que es una esfera perfecta).

Ahora diríjase hacia el norte con velocidad constante: puede ir directamente hacia el norte, no necesita conducir.

Ahora dirígete hacia el este con velocidad constante: esto ahora es algo diferente, para permanecer en el mismo círculo de latitud debes dirigirte hacia el norte constantemente. Si no ve por qué, intente imaginar que lo está haciendo en el círculo de latitud 89°. Si deja de conducir, comienza a ir "recto" a lo largo de una geodésica y "cae" hacia el ecuador.

Esta fuerza de corrección depende de dónde se encuentre y en qué dirección vaya (y desee permanecer en un camino de "coordenadas rectas"), es un mapa lineal que mapea su velocidad en vigor. Se llama los símbolos de Christoffel. Es una propiedad del sistema de coordenadas elegido y de la geometría del espacio-tiempo.

Ahora, en realidad, en la Tierra, se encuentra en un sistema de coordenadas donde las coordenadas están dadas por la latitud, la longitud, la altitud y el tiempo. Tu 4-velocidad en el espacio-tiempo es constante C . Si te quedas quieto, vas derecho en la dirección del tiempo. Pero para mantener estas cuatro velocidades, sientes una fuerza hacia arriba desde el suelo, este es el efecto de los símbolos de Christoffel. Si pierdes el suelo tu trayectoria en el espacio-tiempo será una geodésica y caerás.

Este es un muy buen ejemplo!
Entonces, ¿el espacio curvo (a diferencia del espacio-tiempo) causa una aceleración gravitatoria? Su analogía lo sugeriría.

Parece que hay un malentendido común sobre la teoría de la relatividad general de Einstein: la relatividad general es una teoría del espacio y el tiempo. De la relatividad general, la presencia de masas provoca la curvatura en el espacio-tiempo. Cuando otras masas se mueven cerca, su trayectoria se verá afectada por la curvatura del espacio-tiempo que está determinada por la ecuación geodésica. Pero no podemos ver el espacio-tiempo curvo, solo podemos ver sus efectos en los movimientos de los cuerpos, y estos efectos pueden entenderse como si los cuerpos ejercieran fuerzas sobre otros cuerpos, que es el punto de vista newtoniano. Entonces, técnicamente, la ley de gravitación universal de Newton es una teoría de los efectos del espacio-tiempo curvo, no es perfecta, pero sí lo suficientemente precisa para describir los movimientos de los planetas en nuestro sistema solar. Einstein' La relatividad general es una teoría de las causas del espacio-tiempo curvo, es una teoría de por qué el planeta se mueve de la forma en que lo hace. GR es más preciso que la teoría de Newton cuando se trata de campos gravitatorios fuertes o variables en el tiempo.

Esta A no responde a la Q final del OP: " ¿Por qué la curvatura del espacio-tiempo hizo que comenzara a moverse en primer lugar? ".
Porque esta es una tesis fundamental de la relatividad general: cuando los cuerpos no están sujetos a ninguna fuerza, siguen una trayectoria geodésica. Dado que la gravedad no es una fuerza, es el manifiesto del espacio-tiempo curvo. Cuando una manzana se desprende de un árbol, no se mueve en el espacio, sino en el tiempo. La ecuación geodésica describe movimientos en un espacio de cuatro dimensiones, no solo en un espacio tridimensional. Como todo tiene que moverse a través del tiempo, su trayectoria será descrita por la ecuación geodésica y caerá hacia la Tierra.
¿Por qué la curvatura del espacio-tiempo causaría la gravedad?
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