¿Podemos interpretar las ecuaciones de campo de Einstein en el sentido de que la energía de tensión *es* la curvatura del espacio-tiempo?

Hay una definición geométrica pura del tensor de Einstein$G_{\mu\nu}$en términos de derivadas de la métrica. Independiente de cualquier física.

Del mismo modo, dada una teoría de campo, en principio podría calcular el tensor de energía de tensión.

GR es una teoría física que acopla la geometría, a través del tensor de Einstein, al contenido de materia, a través del tensor de energía de tensión. Hay otras teorías autoconsistentes que acoplan la geometría a la materia de diferentes maneras. En este sentido, la ecuación$G=8\pi T$depende del modelo. Al igual que la ley de los gases ideales$PV=NRT$, que solo se aplica a los gases ideales, no a los gases que interactúan.

Para dilucidar una posible respuesta a su pregunta, es útil considerar las ecuaciones de campo de Einstein en el contexto de la teoría de campos. La acción,

da lugar a las ecuaciones de campo de Einstein a través del principio de acción estacionaria, con un lado derecho correspondiente a la definición simétrica habitual del tensor de tensión-energía de una teoría de campo descrita por$\mathcal L_M$. En este contexto, podemos pensar en,

como las ecuaciones de movimiento para la métrica, y cualquier campo en$\mathcal L_M$acoplado a la gravedad. Entonces, no es tanto que la energía de tensión sea curvatura, sino que los campos (u otras cantidades) que contribuyen a la energía de tensión están acoplados a la gravedad.

Respuesta corta:

• Si lo desea, puede decir que las ecuaciones de campo de Einstein definen la masa gravitatoria activa (o, más precisamente, la masa-energía-momento-tensión gravitatoria activa).

• Pero la masa gravitacional activa es igual a la masa gravitacional inercial y pasiva, por lo que esto hace que la EFE sea más que una definición.

• Las EFE también contienen todo tipo de información que no tiene nada que ver con las fuentes. Por ejemplo, dicen que ciertos campos de vacío no son posibles y predicen la existencia de ondas gravitacionales.

• Hay algunas ambigüedades que entran en juego en el caso de la energía oscura.

Respuesta larga:

El tensor de Einstein$G$es medible. Por ejemplo, cuando dejo caer un lápiz y veo cuánto tarda en llegar al suelo, estoy averiguando algo sobre el tensor de Riemann en cierta región del espacio. Haciendo suficientes medidas, puedo medir todo el tensor de Riemann y luego determinar$G$. Esto constituye una definición operativa de$G$. Podríamos definir$G$de alguna otra manera, pero no es necesario, parece indeseable, y nadie lo hace.

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Einstein con el tensor de tensión-energía. En el límite no relativista, esto es simplemente equivalente a la ecuación de Newton$g=Gm_a/r^2$, que relaciona la masa gravitacional activa$m_a$al campo gravitatorio. Esto puede tomarse como la definición de masa gravitacional activa en la física newtoniana, y no hay otra forma de definirla. Sin embargo, esto no convierte a la ley de la gravedad de Newton en una tautología o una definición, porque en la gravedad newtoniana la masa gravitatoria activa es estrictamente igual tanto a la masa gravitatoria pasiva como a la masa inercial. Dado que tenemos otros tipos de experimentos que pueden medir la masa inercial, no hay circularidad involucrada. Además, la ley de la gravedad de Newton especifica la dependencia de la distancia del campo, que no es una cuestión de definición. Este$1/r^2$forma de la ley de fuerza da como resultado, por ejemplo, la predicción de órbitas elípticas.

De manera similar, en GR, la masa gravitacional activa (o, más precisamente, masa gravitatoria activa-energía-momento-esfuerzo) se define como$G/8\pi$, y no hay otra manera de definirlo. Sin embargo, esto no hace que las ecuaciones de campo de Einstein sean tautológicas o una cuestión de definición, por las mismas razones que en la teoría newtoniana.

Tenga en cuenta que en GR, la igualdad de las masas gravitacionales inerciales, activas y pasivas no es solo una característica opcional como en la gravedad newtoniana. Si alguna de estas igualdades falla, entonces GR se falsifica y no se puede arreglar retocando. (Por ejemplo, es un teorema en GR que las partículas de prueba siguen geodésicas).

Un lugar donde creo que se vuelve un poco más complicado hacer definiciones operativas adecuadas es en el caso de la energía oscura. No tenemos forma de medir la inercia o la masa gravitatoria pasiva de la energía oscura. Esto se debe básicamente a que nuestro modelo de energía oscura es una constante cosmológica, y las ecuaciones de campo de Einstein no nos permiten simplemente hacer soluciones en las que la constante cosmológica varíe de un punto a otro. Tales soluciones siempre violan las ecuaciones de campo. Por lo tanto, la constante cosmológica normalmente se modela como una constante: no tiene dinámica. (Puedes tener una energía oscura dinámica, pero hacerlo requiere algo más elaborado que simplemente dejar que$\Lambda$variar.)

Esta falta de dinamismo en$\Lambda$nos impide medir la masa gravitatoria inercial o pasiva de la energía oscura. Por esta razón, no es raro ver a diferentes personas tomando decisiones diferentes sobre si incluir o no la pieza de energía oscura como parte del tensor de energía-estrés.

No estoy seguro de la distinción que hace entre 'proporcionalidad' e 'identidad definitoria', especialmente en los ejemplos que usa.

Por ejemplo, se podría argumentar que$PV = nk_BT$es solo una definición de presión (¿por qué no?), de la misma manera que$F = ma$se utiliza para definir la fuerza. Lo interesante es que estos conceptos son consistentes con otros elementos de la teoría, por ejemplo, también puedes ver que si colocas el gas en la cámara de área$A$entonces la fuerza que experimenta un lado de la caja es$F = PA$. Según su argumento, esta última expresión cambiaría automáticamente la etiqueta de$PV = nk_BT$de la definición a la proporcionalidad.

Con esto en mente, si define ambos$G$y$T$de alguna manera y demostrar que$G = 8\pi T$entonces, a la luz de su argumento, esto sería una mera proporcionalidad. Si por el contrario nunca definiste alguno de ellos, podrías tomar esta expresión como definición. Resulta que estos términos se definen por separado y las ecuaciones de Einstein son el resultado de la teoría. Pero nuevamente, podría argumentar que esta es una definición y luego mostrar que las otras instancias donde$G$aparece en la teoria son las proporcionalidades.

Por último me gustaría comentar tu última afirmación. Ciertamente creo que la palabra ley no es tan blanco y negro como supones. Para darle un ejemplo,

se conoce como la ley de la gravedad , mientras que

está etiquetada como la teoría de la relatividad general , que es esencialmente la gravedad, pero de alguna manera decidimos no usar más la palabra ley . ¿Por qué? Creo que es solo una razón histórica que refleja el hecho de que en algún momento nos dimos cuenta de que las leyes pueden estar equivocadas .

No. Por la sencilla razón de que existe una curvatura del espacio-tiempo sin ninguna tensión-energía.

La solución de Schwarzschild es una solución de vacío. Dondequiera que se mantenga la solución, la energía de tensión es cero, pero el espacio-tiempo es curvo. Los famosos experimentos que muestran que la luz de las estrellas se "dobla" cuando pasa cerca del sol, o las lentes gravitatorias de las galaxias distantes, se aproximan con ecuaciones de vacío fuera de las fuentes.

Las ecuaciones de campo de Einstein solo expresan la curvatura de Ricci. La curvatura completa viene dada por la curvatura de Riemann.

Me gustaría agregar las siguientes notas principalmente a la buena respuesta del Sr. Weather .

El tensor de Einstein tiene un significado geométrico definido independiente de la física; hay dos significados independientes de la física que debemos tener en cuenta:

1. Su divergencia se desvanece, a fuerza de la primera identidad de Bianci. Este hecho es una expresión de la relación geométrica$\partial^2 =\emptyset$- la frontera de la frontera de un conjunto es siempre el conjunto vacío. Esta es una razón intuitiva por la que podemos "conectar" el tensor de Einstein con la energía del estrés$G\propto T$: la divergencia de$G$se desvanece a través de la geometría, y esto fuerza la divergencia de$T$ser nada. Al "conectar" la geometría para tensionar la energía de esta manera, obligamos a la teoría a codificar la conservación local de la energía-momento a través de un hecho geométrico simple y fundamental;

2. Para responder a su pregunta del título: "¡definitivamente no!" La ecuación de Einstein determina el tensor de Ricci, y este tensor codifica solo la distorsión de hipervolumen, como analizo más adelante en mi respuesta aquí . El tensor de curvatura de Riemann completo tiene más grados de libertad no establecidos por la ecuación de Einstein; estos grados de libertad adicionales codifican la distorsión de la formaa través del tensor de Weyl. Se necesitan más condiciones de contorno para enfatizar la energía para definir completamente el Riemann: discuto cómo Riemann se descompone en tensores de Ricci y Weyl, luego en Ricci + tensor de Schouten + condiciones de contorno en mi respuesta vinculada anterior. Estos grados de libertad no especificados por la propia ecuación de Einstein son los que permiten, entre otras cosas, que las ondas gravitacionales se propaguen en el vacío, y también permiten todo tipo de interesantes soluciones de vacío para las ecuaciones de Einstein, como las variedades de Calabi-Yau o incluso algo así como "mundano" como el Schwarzschild y otras soluciones de agujeros negros lejos de la singularidad.