¿Cuál es la interpretación física de la matriz S en QFT?

La matriz S (matriz de dispersión) es el operador unitario$S$que determina la evolución del estado inicial en$t=-\infty$al estado final en$t=+\infty$.

$$|\psi(t=+\infty)\rangle = S |\psi(t=-\infty)\rangle$$ Esta matriz/operador es, por lo tanto, una colección de números complejos que están listos para calcular las probabilidades de varios procesos de dispersión, por ejemplo, los de los aceleradores de partículas si hablamos de una teoría cuántica de campos realista.

Entonces, la matriz actúa en el (sub) espacio de Hilbert de todas las colecciones de partículas estables con momentos arbitrarios, que se puede suponer que están infinitamente separadas entre sí, de modo que sus interacciones mutuas son insignificantes en$t=\pm \infty$– y el resultado de la acción pertenece al mismo espacio. En particular, la matriz S del modelo estándar puede contener combinaciones arbitrarias de electrones, fotones y otras partículas estables con 3 momentos arbitrarios. Sin embargo, ¡también debería permitir protones arbitrarios, átomos de hidrógeno u otras partículas compuestas estables! Es más difícil calcular los elementos de la matriz S que involucran estados compuestos en el estado final o en el estado inicial pero, en principio, son partes tan buenas de la matriz S como la matriz S para electrones y fotones.

(De hecho, hubo todo un programa S-matrix o Bootstrap, iniciado por Heisenberg y seguido a fines de la década de 1960 por Chew y otros; este programa fue una rama de la investigación que inspiró el nacimiento de la teoría de cuerdas. Una filosofía básica de este programa fue que nuestros cálculos no deberían ser constructivos; no deberían hacer una distinción cualitativa entre partículas elementales y compuestas; todos los estados permitidos y el espectro de masas deberían estar determinados por algunas condiciones de consistencia, "por sí mismos", y ahí es donde el " bootstrap " terminología proviene.)

Por lo tanto, una de las respuestas a sus preguntas es Sí, la matriz S completa conoce todos los niveles de energía del átomo de hidrógeno y también otras cosas. De hecho, el espectro completo de partículas estables en la QFT debe darse antes de intentar determinar los elementos de la matriz S entre ellos. Incluso las partículas inestables y los niveles inestables son "conocidos" por la matriz S porque se manifiestan como polos en la dispersión de partículas u objetos estables.

Algunas teorías cuánticas solo tienen la matriz S pero no admiten las funciones de Green locales "fuera de la cáscara". La gravedad cuántica es un ejemplo típico. Funciones de Green fuera de la cáscara$G(x^\mu,y^\mu,z^\mu)$etc. no son invariantes de calibre porque la invariancia de calibre en la gravedad incluye la reparametrización de las coordenadas. Entonces, solo la matriz S para el gravitón (y otros) estados con partículas que obedecen la condición en la capa$p_\mu p^\mu = m^2$($m^2=0$para gravitones) se encuentran entre las cantidades que son manifiestamente covariantes de Lorentz y están bien definidas en las teorías cuánticas de la gravedad (como la teoría de cuerdas). Entonces, en el caso de algunas teorías, la matriz S es la única cantidad calculable entre las convencionales que tiene sentido. (La gravedad cuántica, es decir, la teoría de cuerdas, no es una teoría cuántica de campo [local] en el mismo espacio-tiempo; es una generalización, y el hecho de que las funciones de Green no estén bien definidas es un ejemplo de este hecho).

Por el contrario, algunas teorías cuánticas de campos (obedeciendo todas las condiciones de localidad, etc. de las teorías cuánticas de campos) no tienen una matriz S porque no admiten estados multipartículas con partículas muy separadas y que prácticamente no interactúan. Todas las teorías de campos conformes pertenecen a esta clase. Las teorías de campos conformes no tienen ninguna escala de distancia preferida$L$, por lo que si preguntamos cuál es la distancia mínima entre partículas en la que las interacciones se vuelven insignificantes, la única respuesta puede ser$L=\infty$. De ello se deduce que las interacciones en las teorías de campos conformes son siempre "fuerzas de largo alcance": actúan a distancias arbitrariamente largas. En el caso de teorías débilmente acopladas con fuerzas de corto alcance (o de Coulomb), los posibles estados de dispersión no difieren mucho del espacio de Fock de todas las excitaciones, pero en las CFT sí lo hacen.

En CFT, uno no puede definir estados de múltiples partículas con partículas aisladas, que casi no interactúan, y debido a que la matriz S es una matriz entre dichos estados y no hay ninguno en CFT, no hay matriz S en CFT. (O, menos útil pero correctamente cuando se trata de las reglas literales, podríamos decir que$|0\rangle$es el único estado asintótico permitido para la matriz S de una CFT y$1$es la única amplitud de dispersión entre dos de esos vacíos). En cambio, generalmente queremos calcular varias funciones de correlación de operadores locales en CFT. Los CFT son siempre locales; no pueden sufrir el problema relacionado con la gravedad cuántica en los párrafos anteriores porque se necesita una escala preferida similar a la escala de Planck para que la localidad se rompa.

Una matriz S describe la transformación unitaria entre estados asintóticos en$t=-\infty$y$t=+\infty$. Solo puede existir en un QFT en el que el espacio-tiempo no es compacto, en particular en el espacio plano de Minkowski (donde se definen QED y el modelo estándar).

Esto descarta la mayoría de las teorías de campo conforme construidas, donde el espacio-tiempo es una superficie compacta de Riemann. Pero como comentó el usuario 1504, existen otras teorías de campos conformes no compactas. El campo libre sin masa en$R^n$es conforme y tiene una matriz S (trivial).

Si existe una matriz S, no determina la dinámica en tiempos finitos; por lo tanto, diferentes QFT pueden conducir a la misma matriz S; entonces se dice que se trata de teorías de campos «interpolantes» distintas. (Consulte, por ejemplo, la Sección 5 de http://ls.poly.edu/~jbain/papers/lsz.pdf y las referencias allí).

La especificación de la matriz S generalmente se realiza de forma perturbativa. Tradicionalmente por la teoría LSZ debida a Lehmann, Symanzik y Zimmermann,
http://en.wikipedia.org/wiki/LSZ_reduction_formula ,
de forma más rigurosa por la teoría de la perturbación causal en el espíritu de Epstein y Glaser
http://en.wikipedia. org/wiki/Causal_perturbation_theory .

Uno obtiene las amplitudes de probabilidad como salidas, ya que estos son solo los elementos de la matriz de la matriz S. Pero como entrada, se necesita la acción (o hamiltoniana) y una lista completa de los estados ligados correspondientes, ya que estos definen el espacio asintótico de Hilbert. (Pero en los libros de texto estándar, esto es esencialmente barrido debajo de la alfombra, lo que resulta en graves problemas de infrarrojos una vez que existen los estados ligados. El estado ligado en QFT no se comprende bien; consulte ¿Diferentes tipos de matrices S? ).