¿Cuál es la "forma" del potencial eléctrico de una carga en movimiento? ¿Se puede derivar el campo como su gradiente?

Esto está motivado por Electricity and Magnetism, 3rd Ed., por Purcell y Morin, Sección 5.6.

A continuación se muestra mi derivación de la transformación de Lorentz del campo eléctrico debido a una carga en movimiento cuyo marco de reposo está representado por componentes sin barras. La carga q se mueve a gran velocidad β en la dirección indicada por ∥ coordenadas subíndice. Coincide con el origen tridimensional del sistema barrado en t = 0.

Como se señala en el libro, el campo es paralelo a la dirección radial desde el origen donde se ubica instantáneamente la fuente de carga en movimiento, pero cambia de fuerza con el ángulo del vector de posición radial de la partícula de prueba.

En el caso de un potencial estático, el campo es simplemente el gradiente de 3 espacios del potencial, y para una carga puntual, el potencial y el campo eléctrico son ambos esféricamente simétricos. El gradiente apunta en una dirección normal a las superficies equipotenciales.

En un plano paralelo a la dirección del movimiento en reposo en el sistema sin barras (marco de reposo de carga), dibujamos círculos concéntricos alrededor de la carga, que representan superficies equipotenciales. A partir del sistema de barras, esos círculos se acortarán en el sentido de la marcha. Por lo tanto, los vectores de campo ya no serán normales a las superficies equipotenciales excepto en θ = 0 y θ = π 2 .

Por un lado, el hecho de que el campo eléctrico esté dirigido radialmente desde la ubicación instantánea de la fuente de carga en movimiento parece intuitivamente obvio. La contracción de Lorentz es una transformación afín de líneas y puntos de intersección que conservan 3 espacios.

Por otro lado, el campo eléctrico ya no parece ser paralelo al gradiente de potencial, excepto en los casos especiales ya tratados.

¿Hay alguna manera de explicar esta aparente contradicción? ¿Se puede producir una representación visual útil del potencial de una fuente de carga en movimiento?

Primero haz el álgebra de transformación.

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Introduce los resultados en la expresión de la ley de Coulomb.

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Respuestas (1)

¡Felicidades! Has descubierto un hecho importante sobre los campos electromagnéticos dinámicos. Para campos dinámicos, el campo eléctrico ya no está simplemente dado por el gradiente del potencial V , sino que está dada por

mi → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t
dónde A → es el vector potencial (es decir, el campo para el cual ∇ → × A → = B → .) En general, la ecuación mi → = − ∇ → V solo es cierto para campos estáticos (o aproximadamente estáticos).

Para obtener más detalles sobre esto, deberá consultar textos de mayor nivel que Purcell & Morin. El texto de pregrado estándar para dicho material, al menos aquí en los EE. UU., es Introducción a la electrodinámica de Griffiths. IIRC, este material se analiza en el Capítulo 10, aunque necesitará una comprensión completa de las ecuaciones de Maxwell (Capítulo 7) antes de profundizar en eso.

Estoy familiarizado con el vector potencial y Purcell y Morin lo presentan. feynmanlectures.caltech.edu/II_14.html feynmanlectures.caltech.edu/II_15.html No lo encuentro muy pintoresco. Hasta cierto punto, plantea la pregunta a la que estoy tratando de llegar. Es decir, cómo surge el magnetismo a partir de campos eléctricos en movimiento. Purcell y Morin parecen hacer un buen trabajo al tratar las cosas de una manera que me resulta interesante y fácil de leer.
¿Cuál es la "forma" del potencial eléctrico de una carga en movimiento? ¿Se puede derivar el campo como su gradiente?
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