Prueba de una identidad de cálculo vectorial

En https://arxiv.org/abs/hep-ph/0010057 se afirma sin prueba la siguiente igualdad de cálculo vectorial, aunque en la nota [4] se hace el comentario críptico de que "La relación es esencialmente la identidad del espacio de impulso$(\mathbf{k}\times\mathbf{A})^2=\mathbf{k}^2\mathbf{A}^2-(\mathbf{k}\mathbf{A})^2$en el espacio de posición":

De hecho existe la relación vectorial:

$$\begin{align} \int \mathbf{A}^2(x)d^3 x & = \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{[\nabla \times \mathbf{A}(x)] \cdot [\nabla \times\mathbf{A}(x')]}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert} \\ & \qquad + \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{[\nabla \cdot \mathbf{A}(x)] [\nabla \cdot \mathbf{A}(x')]}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert} \tag{6}\label{6} \\ & \qquad + \rm{surface\ terms} \end{align}$$ Cada uno de los dos términos es positivo; por lo tanto (hasta la cuestión del término superficial) podemos minimizar la integral de$\mathbf{A}^2$por elección$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0.$Con esta elección la integral de$\mathbf{A}^2$es mínimo de acuerdo con nuestras observaciones anteriores y se expresa solo en términos del campo magnético$\nabla \times \mathbf{A}$

Este$\eqref{6}$es de hecho una identidad muy interesante y Gubarev, et al, continúan mostrándola también en forma relativista invariante. Cuando$\mathbf{A}$es el vector potencial,$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$, luego en el calibre de Coulomb$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$y

1. Me gustaría ver una explicación más detallada de la prueba basada en el espacio de momento - igualdad de espacio de posición
2. ¿Por qué es obvio que en el lado derecho de$\eqref{6}$ cada una de las dos integrales es positiva?