En realidad, los campos eléctricos y magnéticos de un tensor combinado se llama tensor de campo electromagnético . Este es un tensor de rango 2 y toma la forma*

1. Es antisimétrico (entonces$F^{12}=-F^{21}$)
2. es sin rastro
3. Tiene 16 elementos, pero solo 6 valores distintos.
4. Cuando se multiplica por su tensor dual ($G^{\mu\nu}$) da un valor invariante de Lorentz de$4\mathbf{B}\cdot\mathbf{E}$
5. El producto interior,$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2)$, también es un invariante de Lorentz

También puede derivar las ecuaciones de Maxwell a través del tensor aplicando$\partial_\mu$lo. La ley de Gauss y la ley de Ampere provienen de

_{Soy astrofísico, así que uso unidades cgs; en SI, todos los campos eléctricos tienen un factor de$1/c$.}

Para responder a esta pregunta, debe tener una comprensión geométrica completa de las ecuaciones de Maxwell y lo que representan.

Las ecuaciones de Maxwell son un sistema variado de PDE. En notación STA, es simplemente

Damos por sentado que$F$es un bivector, y por lo tanto tiene 6 componentes, y que$J$es un vector, y por lo tanto tiene 4 componentes. Pero esta ecuación describe hasta ocho ecuaciones separadas. ¿Porqué es eso?

Para un campo bivector arbitrario$K$, la derivada$\nabla K$puede tener términos vectoriales y trivectores. El hecho de que las ecuaciones de Maxwell tengan solo un término fuente vectorial es bastante significativo: esto es parte del contenido físico de las ecuaciones de Maxwell. Estamos diciendo que el campo EM está determinado solo por una corriente vectorial.

¿Qué pasaría si hubiera un término fuente de corriente trivector? Sería carga "magnética" (monopolos magnéticos) y una corriente asociada. Así que de inmediato podemos apreciar lo que denotaría ese término fuente.

¡Pero espera hay mas! Digamos que entonces teníamos corrientes tanto eléctricas como magnéticas. ¿Qué tipo de campos podrían producirlos?

Como has estado tratando de entender, estos son los otros dos componentes de un campo que podrían entrar en esta ecuación diferencial. Son un campo escalar y un campo pseudoescalar. No estoy familiarizado con cómo se manifestarían estos campos, o qué harían.

Entonces, ¿por qué no nos enteramos?

Dejar$\lambda$Sea el campo escalar. ¿Cómo afectaría esto a las ecuaciones de Maxwell con solo un término fuente actual?

Dejar$F = e_0 E + B$, donde he indicado implícitamente que el campo magnético es un bivector . Puede identificarlo como un vector en su lugar y luego considerar$\epsilon_3 B$, pero el efecto neto es bastante mínimo.

Las ecuaciones de Maxwell luego se descomponen como

y

Agregar un campo escalar$\lambda$afectaría solo a la parte del vector, con su gradiente:

Entonces, en general, esto probablemente parecería algún tipo de corriente adicional no asociada con los movimientos de las cargas eléctricas, o tal vez sería indistinguible de las corrientes eléctricas de alguna manera, salvo que impregna todo el espacio como una función continua. Parecería que hay algunas corrientes en todas partes, en algún sentido. Puede ver por qué ni siquiera consideramos la existencia de tal campo. A menos que sea muy pequeño, lo habríamos detectado hace algún tiempo, ya que interactúa con el término fuente de corriente eléctrica.

Un análisis del campo pseudoescalar magnético probablemente terminaría de la misma manera.

Entonces, ¿al tensor de Faraday le faltan dos componentes adicionales, un campo escalar y un campo pseudoescalar? Diría que no , pero si descubre lo contrario, probablemente gane un premio Nobel. Buena suerte con eso. Como dije en la otra pregunta, no se deje engañar pensando que, solo porque$Fx$tiene ocho componentes, faltan componentes del campo de Faraday. Es muy probable que no falten tales componentes. Puede ver esto al considerar lo que harían esos componentes en las ecuaciones de Maxwell estándar, como lo he hecho aquí.

Editar: algunas correcciones sobre la relación entre este campo escalar y la fijación del indicador.

Este campo escalar eliminaría la libertad de cambiar$A$a través de transformaciones de calibre, como$\lambda$especificaría la divergencia de$A$. Recuerde que la fijación del indicador depende de la capacidad de realizar la transformación,

Para algún campo escalar$\chi$. Esto se puede hacer porque$\nabla \wedge (A + \nabla \chi) = \nabla \wedge A = F$, por lo que el campo EM no cambia.

Pero si$\nabla \cdot A = \lambda$, luego agregar el gradiente de un campo escalar cambiaría el valor de$\lambda$mensurablemente, en todos menos en los casos más simples:

Ahora, estaría restringido a funciones de calibre$\chi$que son estrictamente armónicos. Los campos armónicos suelen ser los que surgen de alguna elección de condiciones de contorno, es decir, esto correspondería a alguna elección de condición de contorno, y la contribución de campo de las corrientes no cambiaría. Por supuesto, la imaginación se ve forzada a considerar cómo se haría razonablemente esto para la fijación de calibres. Y si encontraste una transformación que preserva$\lambda$, no se iria$F$invariante en general.

Así que la supuesta existencia de esta función$\lambda$tendría profundas consecuencias hacia la fijación de calibres. No lo prohíbe absolutamente como pensé originalmente, pero pone serias limitaciones en la reparación que probablemente ya nos habríamos topado.

Este es más un comentario extendido para abordar los comentarios a la respuesta de Kyle.

Por ejemplo, si hubiera un componente de tiempo en el campo eléctrico y magnético

En un contexto relativista, los componentes del campo eléctrico y magnético no son componentes de campos vectoriales separados y relacionados , sino que son componentes de un campo tensorial de segundo rango; los campos eléctrico y magnético son parte de un objeto geométrico, no dos.

De hecho, una pista de esto se encuentra en el hecho de que el campo magnético es, en 3D, un campo pseudo-vector en lugar de un campo vectorial.

Entonces, de hecho, la pregunta "cuál es el componente temporal del campo eléctrico y magnético" en realidad supone una falsedad ; supone que los campos eléctrico y magnético son cuatro vectores separados pero relacionados.

Pero, no lo son .

Dado que un tensor de rango 2 tiene dos índices, podemos hablar correctamente del componente de tiempo-tiempo , los componentes de tiempo-espacio y los componentes de espacio-espacio del tensor, pero no del componente de tiempo o espacio .

Contrae el tensor de Faraday, y su dual, con el de 4 velocidades. en unidades$c \equiv 1$,

$E^{\alpha} = F^{\alpha \beta} U_{\beta}$

$B_{\alpha} = \ast F_{\alpha \beta} U^{\beta}$

dónde$\ast F_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} \ \varepsilon_{\alpha \beta \mu \nu} \ F^{\mu \nu}$.

En un marco local de Lorentz (con$c \equiv 1$), la 4-velocidad se puede escribir$U_{\alpha} = \gamma \left( 1, \mathbf{v} \right)$, y los 4 vectores eléctricos y magnéticos se pueden escribir en una notación más familiar,

$E^{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}, \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \ \right)$

$B_{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{B}, \mathbf{B} - \mathbf{v} \times \mathbf{E} \ \right)$

el faraday$2$-tensor$F$describir la fuerza del campo electromagnético es antisimétrica, por lo que no hay espacio en$1\!+\!3$dimensiones para cualquier componente adicional además del$3$eléctrico y$3$magnéticos. Esto es sencillo, pero ¿por qué es antisimétrico?

Se puede encontrar una pista sobre la naturaleza del campo electromagnético expresando las ecuaciones de Maxwell en términos tanto del tensor de Faraday$F$y el tensor de Maxwell$H$:

Lo notable de esta forma es que ninguna de las ecuaciones de Maxwell se preocupa en absoluto por la métrica del espacio-tiempo. Más bien, la métrica aparece como parte de la estrella de Hodge en una ley separada que vincula los tensores de Maxwell y Faraday:

Si los tres campos eléctricos y magnéticos vectoriales provienen del cuatro potencial de cuatro componentes, ¿entonces hay un cuarto componente para el campo eléctrico y magnético?

Ahora transformemos la observación anterior en un argumento. El electromagnetismo no es gravedad, por lo que si bien es posible que necesitemos la métrica en algún momento para convertirla en una teoría totalmente predictiva, deberíamos poder poner las ecuaciones que describen el campo electromagnético en una forma independiente tanto de la métrica como de la conexión. Por lo tanto, las ecuaciones del electromagnetismo aún deberían tener sentido incluso si el espacio-tiempo no tuviera una métrica ni una conexión. Lo que queda además de la topología es la estructura diferencial .

Conclusión: El electromagnetismo debe ser descriptible por formas diferenciales, y las formas diferenciales corresponden a tensores antisimétricos covariantes. En$n$dimensiones, el número de componentes independientes de un$k$-forma es$C(n,k)$. Por lo tanto, si sabemos que los campos eléctrico y magnético se entremezclan en transformaciones a través de los marcos y, por lo tanto, deben ser partes del mismo tensor/$k$-forma, el número total de componentes para$n=4$debe ser uno de$\{1,4,6\}$.

Tener$4$porque tanto el campo eléctrico como el magnético harían$8$, por lo que es un no-go.

Por cierto, si ya sabemos que la intensidad de campo$2$-la forma tiene un potencial,$F = \mathrm{d}A$, después$A$debe ser un$1$-formar y tener cuatro componentes independientes... pero no deberíamos haber esperado que toda esa aparente libertad fuera física en primer lugar, porque$A\mapsto A+\chi$para cualquier$1$-forma$\chi$con$\mathrm{d}\chi = 0$produce lo mismo$F$. Tenga en cuenta que$F = \mathrm{d}A$implica que$\mathrm{d}F = 0$, que es la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de inducción de Faraday.

Las respuestas proporcionadas por Alfred Centauri y Kyle Kanos contienen declaraciones fácticas, pero hay más geometría oculta en el problema. Es cierto que los vectores de campo eléctrico y magnético no son verdaderos vectores, sino pseudo-vectores como afirma Alfred Centauri que pertenecen a tensores de campo de rango 2 como afirma Kyle Kanos. Sin embargo, Kyle Kanos mencionó que los campos provienen del cálculo exterior.$\partial^\mu A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$, lo que sugiere que los campos EM pueden entenderse como posibles bivectores del espacio de cuatro dimensiones https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector . Usando la reasignación de un hodge dual https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual , uno podría reasignar los componentes del bivector a cuatro componentes de un cuatro vector de espacio-tiempo como una forma de condensar la notación. Esto implicaría un posible cuarto componente del campo EM.