¿Es el campo vectorial electromagnético una suma de E y B?

Me cuesta entender completamente la teoría del campo electromagnético (clásico) con respecto a la descomposición de Helmholtz . Permítanme comenzar con el teorema de Helmholtz:

Cualquier campo vectorial de clase C ∞C∞en R 3R3se puede componer en la suma de > otros dos campos: uno libre de rotaciones y otro libre de divergencias.

F = F 1 + F 2F =F1+F2

pero (debido a algunas identidades de operadores vectoriales) podemos reescribir F 1F1y F2 _F2a

F 1 =−∇ F 3

F 2 =∇× F 4

donde

F 3, F 4son campos escalares y vectoriales respectivamente

Ahora yendo a la electrodinámica sabemos que en caso estacionario

mi = − ∇ ϕ

y

B = ∇ × A

Se ajusta muy bien por lo que podemos escribir que el campo electromagnético es igual

F mi METRO = mi + segundo =−∇ϕ+∇× UN

¿o podemos? ¿Por qué en ninguno de mis libros ni en la red está escrito que el campo EM es solo E + B ?? Por ejemplo , wikipedia afirma que EM es una combinación de Ey B. Sí, por supuesto que es una combinación (de las ecuaciones de Maxwell), pero esa no es una declaración precisa. Obviamente, en ninguna parte pude encontrar ninguna ecuación para el campo EM (tratado como un solo campo vectorial).

Entonces, ¿alguien puede explicar qué es este campo EM con respecto a E ?y Ben el contexto de la descomposición de Helmholtz?

Los campos eléctrico y magnético SÍ se combinan en un solo objeto, pero este objeto es un tensor, no un vector.

Respuestas (6)

Déjame probar esto más claramente que las otras respuestas, que no están mal. Usted pregunta:

Entonces, ¿alguien puede explicar qué es este campo EM con respecto a → E ?y → Ben el contexto de la descomposición de Helmholtz?

No hay un "campo EM en el contexto de la descomposición de Helmholtz" . Helmholtz simplemente dice que todo campo vectorial → Ves descomponible como rotacional y gradiente de otros dos campos, es decir

→ V = → ∇ ϕ+ → ∇ × → A

Puede hacer esto para el campo eléctrico o magnético, por supuesto, pero esto no es particularmente esclarecedor en cuanto a la naturaleza del "campo EM". Un campo debe comportarse bien bajo transformaciones, y la relatividad especial con su acción sobre los campos eléctrico y magnético nos muestra que no debemos sumarlos, sino buscar una cantidad que se transforme bien bajo transformaciones de Lorentz:

"El campo electromagnético" es equivalente al calibre de cuatro potenciales A(compuesto por el potencial electrostático escalar en el temporal y el potencial vectorial magnético en las entradas espaciales) o su derivado, el tensor de intensidad de campo F = d A. Los campos eléctrico y magnético se vuelven parte del tensor cuando F 0 i= mi yo F yo j= ∑ k ϵ yo j k segundo k

Este es "el campo EM", pero no tiene nada que ver con la descomposición de Helmholtz, ya que el electromagnetismo se considera correctamente en el marco tetradimensional de la relatividad especial, para el cual solo se puede aplicar la descomposición general de Hodge , de la cual Helmholtz es un caso especial, pero incluso esto no tiene nada que ver con eso .

Este campo EM actúa sobre las cuatro velocidades, reproduciendo la fuerza de Lorentz por

dp _re t =qF(tu)

donde estases la velocidad de cuatro, y ( F ( u ) ) μ = F μ ν u ν.

Si el campo no es estacionario, curl de → Eno desaparece Por lo general, no puede identificar el campo electromagnético con la parte libre de rizos de la descomposición.

Sin embargo, de hecho puede introducir una combinación vectorial compleja de campo eléctrico y magnético, en un determinado sistema de unidades es → E + i → H. Este es el llamado vector de Riemann-Silberstein ( http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector ). A veces es muy útil (por ejemplo, lo usé en mis artículos recientes ( http://arxiv.org/abs/1502.02351 y http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf ) (publicado en J. Math. Phys.)). Sin embargo, es un vector solo bajo las transformaciones del grupo de rotación, no de todo el grupo de Lorentz.

Está bien, pero en el caso estacionario E no tiene rizos, así que puedo escribir que EM=E+B, ¿o no? Por otro lado, ¿podemos definir otro campo que no sea $E$ que siempre esté libre de rotaciones para ajustarse a la teoría de Helmholtz? ¿O tal vez las suposiciones sobre el campo EM en esta descomposición no son válidas?
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: Como escribí en un comentario a otra respuesta aquí: pregúntese qué campo vectorial está tratando de descomponer. Sí, en el caso estacionario, puedes introducir un campo vectorial $\vec{E}+\vec{H}$, pero no tengo idea de por qué sería útil en física.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers Me pregunto si leyó mi respuesta. E y B actúan sobre diferentes objetos. E sobre cargas eléctricas q y B sobre dipolos magnéticos o campos magnéticos generados por corrientes. Entonces, de cualquier manera que los escribas, son cosas diferentes.
@akhmeteli No sé si sería útil o no, pero si se puede hacer algo, debería hacerse (o al menos intentarlo), por lo que si Helmholtz afirma que uno puede descomponer cualquier campo suave en sin rizos y libre de div, entonces deberíamos hacer eso y estudiar las propiedades de esos componentes. Así es como lo veo y, de hecho, me sorprende que sea tan difícil entender lo que quiero decir (algunas respuestas son completamente de tema aquí).
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: ¿puede decirme qué campo va a descomponer?
@Sofia: no estoy seguro de que actúen sobre diferentes objetos: como partes del tensor electromagnético, actúan sobre las cuatro velocidades para producir la fuerza de Lorentz ( en.wikipedia.org/wiki/… )
@akhmeteli Bueno, el campo que combina los campos E y B, lo llaman campo EM. Ahora, si creemos que este campo cumple con las suposiciones de Helmholtz y si $E$ no es un componente libre de rotaciones, ¿qué es? (Creo que estamos de acuerdo en que $B$ está libre de div ya que no se han encontrado monopolos magnéticos).
@akhmeteli mira la fuerza de Lorentz en mi respuesta. Sí, el campo eléctrico no actúa sobre los dipolos magnéticos. Pero mira en mi respuesta. E actúa sobre la carga por fuerza eléctrica, pero B actúa sobre el dipolo magnético, o campo magnético, o como se le llamaría, producido por el movimiento de la carga. Dicho en palabras populares, estos campos son lo mismo que una manzana y una silla.
@Sofia, no puede decir que E y B son completamente diferentes, ya que pueden transformarse entre sí a través de las ecuaciones de Maxwell. Además, en la teoría relativista, qué es E y qué es B depende del observador. Según tengo entendido y en el espíritu del teorema E y B de Helmholtz, son solo dos subcampos de un campo más grande.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers mire exactamente lo que dije: que actúan sobre diferentes objetos. Por supuesto, cuando uno se transforma en otro (transferencia de Lorentz), actúan como los campos en los que se transformaron. Si E se transforma en B, actúa como B, por lo que después de tal transf. el campo B obtenido actúa como B, y el campo E obtenido como E. Aún así actuarán sobre diferentes objetos. Una carga estática X actúa sobre otra carga estática Y mediante un campo E, sin embargo, un imán en movimiento verá que X se mueve, produciendo una corriente y, por lo tanto, un campo magnético.
@Sofia: y el movimiento es relativo. Si observa el enlace que di, tanto el campo eléctrico como el magnético actúan sobre la velocidad 4, que en cierto sentido es un objeto.
@akhmeteli repito, E actúa sobre carga eléctrica, B sobre dipolos magnéticos o campos magnéticos. En el papel podemos escribir todo tipo de notaciones, pero una carga eléctrica y un dipolo magnético son dos objetos físicos diferentes. Se transforman, tienen notaciones, pero de la misma manera el espacio y el tiempo se transforman relativistamente, pero en el sistema desde el cual se mira, el reloj mide el tiempo del sistema, no la longitud. En el sistema donde E se transformó en B, actúa como B.
@Sofia: Respetuosamente no estoy de acuerdo.
@akhmeteli entonces, en el sistema donde E se transformó en B, atrae imanes, no cargas estáticas con respecto a ese sistema.
@akhmeteli No tengo energía para discutir tanto. Nunca vimos un campo eléctrico atrayendo un imán y un campo magnético atrayendo una carga estática. Aquí hablamos de física, en el papel escribimos todo tipo de cosas. Pido disculpas pero no puedo. Quiero salir de esto. Si viste cosas que yo no vi, está bien para mí.
Esperaba que alguien mencionara el vector RS. Sin embargo, incluso esto es como el tensor de Faraday disfrazado que escribe los vectores de campo como superposiciones de las matrices de Pauli, por ejemplo, y luego el "vector" RS se transforma mediante un mapa de spinor $F\mapsto \Lambda F \Lambda^\dagger$ donde $\Lambda$ es el elemento $SL(2,\,\mathbb{C})$ que representa la transformación de Lorentz. Bonito papel por cierto.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Estoy de acuerdo con el tensor de Faraday. Como dije, el vector RS tiene problemas con las transformaciones de Lorentz. Y muchas gracias por las amables palabras.

Si encaja muy bien, podemos escribir que el campo electromagnético es igual

F mi METRO = mi + segundo =−∇ϕ+∇× UN

¿o podemos?

¡No! ¡Por el amor de Dios, no!

No solo agregue esos campos juntos... no es una cantidad útil.

En el sistema SI Ey Btienen diferentes unidades. Otro buen indicador de que no desea simplemente agregarlos juntos....

Además, el campo eléctrico no siempre es longitudinal (es decir, no siempre es igual al gradiente de un escalar − ∇ ϕ). En general puede tener una componente transversal: → E = − ∇ ϕ − ∂ → A∂ t

Pero en CGS tienen la misma unidad, donde ciertamente E 2 se agrega a B 2 todo el tiempo. Incluso en SI puedes simplemente anteponer uno u otro con suficiente μ 's y ϵ 's para hacer que las unidades funcionen.
Permítanme reformular la pregunta: si EM no es una suma de E y B, ¿qué campos suman EM? Según Helmholtz, existen tales campos (si se cumplen las condiciones) y, además, esos dos campos (sin curvatura y sin divergencia) deberían definir de forma única EM.
@WeSense: ¿Qué quiere decir con "resumir en EM"? EM es, en notación no relativista, descrito por los dos campos vectoriales → E y → B . El electromagnetismo es una teoría , no un vector que cualquier cosa pueda resumir. En notación relativista, unificas esta descripción en el tensor de intensidad de campo EM . Y eso es.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: Vea mi respuesta. También debe preguntarse qué campo vectorial descompone realmente en la descomposición de Helmholtz. Puede ser cualquier campo vectorial, por ejemplo → E .
@ChrisWhite, sí, puede continuar y agregar esos campos si lo desea... pero no debería hacerlo. ¿Por qué no simplemente agregar → A ? mismo a la suma? Estoy seguro de que puede cambiar las unidades introduciendo algunas constantes dimensionales para que los términos con A, B y E coincidan. ¿Por qué no hacer esto? Porque no tiene sentido.

Encontraré la palabra Maxwell en la conferencia Oersted Medal Lecture 2002: Reformando el lenguaje matemático de la física por Hestenes, en las páginas 25/26

Ese formidable texto presenta un mejor formalismo matemático para la física, en mi opinión.

Comenzando con F ( x , t ) = mi ( x , t ) + yo segundo ( x , t )...
Las 4 ecuaciones de Maxwell (64..67) que describen dos puntos de vista (E y B) de un campo 'EM' de una sola entidad se pueden expresar con una sola ecuación (63):

( 1do ∂t+∇)F=ρ-1cJ _

La palabra Helmholtz , etc, etc, no está presente en ese formalismo. Números complejos, vectores, matrices, tensores, etc., son puntos de vista particulares que integra el Álgebra Geométrica.

En realidad, el campo electromagnético puede verse como un tensor. La combinación de la que habla Wikipedia es esta, Ey Bestán organizados en una matriz antisimétrica F μ νcon μ , v = 0 , ... , 4entonces el numero de componentes independientes es 6.

Eres libre de definir el vector F E M, pero no creo que este vector tenga ningún valor. No obedecería ninguna ley simple, y no se encontraría que tuviera ningún uso práctico en el laboratorio.

¿Es el campo vectorial electromagnético una suma de E y B?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v