Cálculo de Itô o de Stratonovich: ¿cuál es más relevante desde el punto de vista de la física?

La ecuación de Langevin proporciona un ejemplo de un modelo físico que implica una ecuación diferencial con un término estocástico. Ahora, me pregunto, ¿cómo se debe tratar esto?

Cuando estudié los procesos estocásticos, aprendí sobre el cálculo de Itô y Stratonovich *. En aquel entonces, solo veía estas cosas como herramientas técnicas diseñadas para definir la integral estocástica de una manera significativa. Sí, dependiendo de cuál uses, obtendrías unos resultados u otros, pero esto no me molestaba, ya que estaba viendo estos objetos como meras estructuras matemáticas.

Pero, cuando me enfrento a la ecuación de Langevin, me pregunto, ¿cómo se hace una interpretación significativa de ella? Tanto el cálculo de Itô como el de Stratonovich parecen alternativas razonables, pero no encuentro ningún argumento fuerte para preferir uno sobre el otro. ¡El punto es que debe haber una manera de decidir qué tipo de cálculo estocástico debemos usar! Dos definiciones diferentes de la integral estocástica conducirán a una ley física contradictoria, lo cual es problemático.

Creo que la ecuación de Fokker-Planck se puede derivar de la ecuación de Langevin a través de la fórmula de Itô, pero no creo que haya ninguna forma de lograr esto usando el cálculo de Stratonovich... Pero, por supuesto, este sería un argumento ad hoc pobre en favor del cálculo de Itô, por lo que esto es claramente insatisfactorio.

Resumiendo: ¿cómo procedería para averiguar qué versión de la integral estocástica es más conveniente para tratar con ecuaciones estocásticas en física? ¿Hay alguna suposición física que haga más razonable el cálculo de Itô?

  • Una nota: Por supuesto, hay toda una familia paramétrica de posible cálculo "interpolador" entre Itô y Stratonovich, pero creo que estos dos son los únicos que son relevantes: uno de ellos da lugar a la propiedad martingala, y el otro se conserva la regla clásica de integración por partes
Debería ver cada modelo por lo que es: una herramienta limitada que a veces es correcta ya veces no. Cuándo está mal y cuándo está bien es algo que la naturaleza decide por nosotros. Todos los modelos inventados hasta la fecha casi siempre son incorrectos (y en la mayoría de los casos ni siquiera se pueden calcular), pero eso no importa. Lo que importa son los casos en los que son correctos.
Aún así, es natural tratar de buscar un argumento teórico más profundo que sirva como motivación para una integral estocástica particular. Entiendo en qué sentido "todo modelo está mal", pero dado el modelo, uno desea tener un marco formal particular para ese modelo. Estoy como preguntando cuál sería ese marco formal particular en este caso.
Bueno, ciertamente no es solo matemática, ya que estoy pidiendo específicamente una justificación -sobre bases físicas- para un tipo u otro de integración estocástica. Tu respuesta es que no hay más allá de "de acuerdo con el experimento", y tal vez sea cierto, y tal vez no haya una justificación profunda para emplear una integral estocástica u otra, pero sin embargo creo que el ejercicio teórico de buscar una motivación que hace preferible (en algún sentido intuitivo no formal) que la integral de Itô o de Stratonovich sea muy interesante.
La única "justificación física" es que concuerda con un experimento. Eso es lo que hacemos en la ciencia empírica. No hacemos axiomas, no hacemos pruebas, usamos las matemáticas como un mazo para clavar una estaca a través de los datos de las observaciones. Como dijo mi primer profesor de física teórica (estoy traduciendo un tanto vagamente para que no parezca que no me gusta el departamento de filosofía) en la primera clase "Si no te gusta eso, ahí está la puerta... no te gustará". como lo que está a punto de seguir".
Estoy en completo desacuerdo. La justificación última es que está de acuerdo con el experimento, por supuesto. Pero hay toneladas de ideas, heurísticas y otros modelos que arrojan luz sobre qué modelos son más razonables o más probables. La ecuación de Langevin debe probarse con experimentos, por supuesto, pero se sigue matemáticamente de las ecuaciones de Newton y algunas otras consideraciones, así que ahí tienes un ejemplo de cómo encontrar la motivación para proponer un modelo. No estoy pidiendo pruebas. No he usado esa palabra. Solo para obtener información física sobre qué herramienta es más conveniente para una situación concreta.

Respuestas (2)

Ambos son relevantes, y "la idea errónea de que la ecuación de Langevin es la ecuación diferencial estocástica universal para todo tipo de sistemas ruidosos es responsable de las dificultades mencionadas"* en su publicación.

Tome el SDE de la respuesta de Thomas,

d y d t = A ( y ) + C ( y ) L ( t )
dónde L ( t ) es el término de ruido. Supongamos que podemos apagar el ruido, por lo que solo estaríamos mirando el sistema aislado, determinista, y supongamos que tenemos:
d y d t = A ( y )
Por lo tanto, es obvio que el término ruido en este caso debe interpretarse según Stratonovich, porque una interpretación de Itô cambiaría la dinámica del sistema aislado.

Arriba habíamos supuesto, como se hace, que ⟨ L ( t ) L ( t ′ ) ⟩ = D d ( t − t ′ ) , pero rara vez los procesos físicos reales están hechos de deltas de Dirac. Ahora bien, si no lo son, entonces por Wong-Zakai, Stratonovich es la única interpretación posible aquí (es decir, si L ( t ) es más general, y a medida que se acerca a un delta, Stratonovich es la forma de integración que surge).

Ahora, al encender y apagar el ruido, hemos llegado a la conclusión de que Stratonovich es el único camino a seguir, pero al principio dije que ambas formulaciones son relevantes. De hecho, ¿y si el ruido no se puede separar?

La distinción importante es hacer entre fuentes externas e internas de ruido. Nos ocupamos de lo externo, pero ¿y si el ruido es interno y es imposible apagarlo como, por ejemplo, en las reacciones químicas? No es que tengamos un proceso determinista con un término de ruido encima, tenemos un proceso estocástico y uno podría argumentar que los promedios se comportan de manera determinista, pero de ninguna manera se puede simplemente agregar un ruido término de nuevo en la parte superior sin más justificación: "Para el ruido interno, uno no puede simplemente postular una ecuación de Langevin no lineal o una ecuación de Fokker-Planck y luego esperar determinar sus coeficientes a partir de datos macroscópicos. El enfoque más fundamental de [la expansión de la ecuación maestra] es indispensable."

* Todas las citas en mi respuesta se tomaron del libro definitivo sobre el tema: Stochastic Processes in Physics and Chemistry de van Kampen, que le sugiero encarecidamente que consulte para obtener explicaciones más detalladas de los problemas y cómo abordarlos.

Ok, gracias por la respuesta y la referencia. El título es muy sugerente, por cierto.
No estoy seguro de haber entendido completamente. En el límite que giro del ruido multiplicativo, b → 0 en mi notación, los procesos de Ito y Stratonovich son iguales. Para el ruido aditivo, son los mismos de todos modos.
Por cierto: en los sistemas físicos el ruido y la resistencia no son independientes. Este es el contenido de las relaciones de fluctuación-disipación (FD). A los físicos les gusta más Stra, porque las relaciones FD adquieren una forma más transparente, pero no es obvio para mí lo que le pasa a Ito.

Tanto las PDE estocásticas de Ito como las de Stratonovich se pueden utilizar para derivar una ecuación de Fokker-Planck. De hecho, para procesos unidimensionales simples, el proceso de Ito

d X = a d t + b d W ( t )
es equivalente al proceso Stratonovich
d X = ( a − 1 2 b ∂ X b ) d t + b d W ( t )
Entonces, la respuesta es que ambos son físicamente razonables, para una ecuación de FP dada, puedo encontrar tanto Ito como un proceso de Stratonovich que lo realice. Estos son físicamente equivalentes.

Habiendo dicho esto, los físicos tienden a pensar en Stratonovich como el esquema más razonable, porque la ecuación FP es la que se puede derivar tomando momentos e integración "ingenua" por partes.

Cálculo de Itô o de Stratonovich: ¿cuál es más relevante desde el punto de vista de la física?
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