¿Cuál es la diferencia entre un funcional y un operador?

En términos generales, un operador (que actúa sobre un espacio funcional) lleva funciones a funciones (p. ej.,$f(x)$a$-i f'(x)$). Por otro lado, un funcional lleva funciones a números (piense en cierta integral, o la derivada evaluada en cierto punto).

1. Un operador es un mapa (no necesariamente lineal) de un vector$^1$espacio o módulo a otro.

   En la teoría de operadores , por lo general se asume implícitamente que los operadores son lineales .

   En mecánica cuántica , por lo general se asume implícitamente que los operadores son lineales o antilineales . (¡Sin embargo, vea el teorema de Wigner !)

2. Un funcional es un mapa (no necesariamente lineal) de un vector$^1$espacio en un campo .

   En los temas de cálculo de variaciones y mecánica lagrangiana , los funcionales suelen ser no lineales.

   En el análisis funcional , por lo general se supone implícitamente que los funcionales son lineales.

--

$^1$Esta es la definición de Wikipedia (octubre de 2016). Sin embargo, dado que el mapa no es necesariamente lineal, en general no hay razón para insistir en la estructura del espacio vectorial en primer lugar. Por ejemplo, los físicos llamarían funcional a la acción WZW , incluso si su dominio técnicamente no es un espacio vectorial.

Matemáticamente, tenemos muchas palabras que se refieren a la misma idea general: el significado preciso de una palabra no es de definición universal, sino de convención lingüística que se desarrolla en varios temas (e incluso entonces no siempre es consistente).

Dicho esto, en mi experiencia (como matemático), en contextos de álgebra lineal, "funcional" casi siempre se reserva para funciones lineales con valores escalares, y "operador" generalmente se usa para un elemento de algún tipo de álgebra cuando uno tiene la intención de trabajar con representaciones de ese álgebra (por ejemplo, el álgebra de endomorfismos lineales del espacio de funciones complejas sobre los reales, con su representación de actuar sobre dicho espacio de funciones).

El uso de "funcional" en el sentido de cualquier tipo de función cuyo dominio incluya funciones tiende a ocurrir más en dominios como la lógica formal o la informática.

Como otros han señalado, es solo una cuestión de definición. Un funcional es un operador, cuya imagen es el campo subyacente de números. Principalmente me gustaría dar ejemplos de operadores y funcionales, ya que otros han explicado bastante bien la diferencia.

Funcionales

Supongamos que tratamos$L^2(\mathbb R)$(es decir, las funciones cuadradas integrables sobre$\mathbb R$) como un$\mathbb R$espacio vectorial Entonces los siguientes mapas serían funcionales.

Lo más fácil (más aburrido) que puedo pensar en el cero funcional, es decir, asigna cada función al número cero.$b: L^2(\mathbb R) \to \mathbb R$,$f \mapsto 0 \in \mathbb R$. Otro ejemplo no trivial sería el funcional integral, es decir, el mapa$I : L^2(\mathbb R) \to \mathbb R$,$f \mapsto \int_{\mathbb R} f(x) \, \mathrm dx$. Tenga en cuenta que esto también es un funcional porque tomamos la integral sobre todo el espacio, por lo que obtiene un número al final. Otro (más funcional físico) es simplemente el 'funcional de energía cinética' en la mecánica clásica. Ahora es algo radical llamar a esto un funcional pero de hecho es uno:

donde tomamos$\mathbb R \times \mathbb R^3$como un$\mathbb R$espacio vectorial

Operadores que no son funcionales

Ahora veamos los operadores, que no son funcionales. Esta vez tomamos$C^1(\mathbb R) =: C^1$(es decir, funciones diferenciables) como$\mathbb R$espacio vectorial Nuevamente hay un ejemplo trivial, que asigna cada función a la función cero (es decir,$\hat 0: \mathbb R \to \mathbb R$,$x \mapsto 0$tenga en cuenta que la función cero es diferenciable). Este operador se da como$B : C^1 \to C^1$,$f \mapsto \hat 0$. Un operador no trivial sería el operador de traducción como en$T_a : C^1 \to C^1$,$f(x) \mapsto f(x+a)$para algunos fijos$a \in \mathbb R$. Tenga en cuenta que no tenemos ninguna restricción en cuanto a cuál debería ser la imagen de un operador. Entonces el operador de diferenciación$D$es un ejemplo.$D: C^1 \to C^0$,$f \mapsto \mathrm df/\mathrm dx$ya que hay funciones, que son solo una vez diferenciables (aquí$C^0$significa funciones continuas sobre$\mathbb R$tomado como$\mathbb R$espacio vectorial.) El primo del funcional integral es el operador antiderivado. Para eso, tomemos las funciones continuas sobre el intervalo unitario.$I:= [0,1]$y definir el mapa de la siguiente manera:

tenga en cuenta que$F(x)$es una función por lo que la imagen del operador$V$son funciones en lugar de números reales.

Espero que estos ejemplos puedan ayudarte a ilustrar qué son los operadores y los funcionales.

Los operadores actúan entre espacios vectoriales, toman un vector (en el sentido matemático) como entrada y dan un vector como salida. Por supuesto, esos dos espacios vectoriales no tienen que ser iguales, en general. Operador de momento$\hat{p}$actúa sobre una función, que es un vector en el sentido matemático, y genera otra función.

Los funcionales también son operadores. Nuevamente, toman un elemento de un espacio vectorial como entrada pero dan un escalar como salida. Por escalar, me refiero a un elemento del campo subyacente (en el sentido matemático) del espacio vectorial original. En otras palabras, el campo de coeficientes de combinaciones lineales en el espacio vectorial.$\hat{p}$no es un funcional porque no da un número, da una función. Los físicos a menudo usan un lenguaje descuidado y llaman funciones funcionales a funciones . Es porque, en la práctica, por lo general lo son, toman una función y generan un número. Un ejemplo sencillo sería el hamiltoniano, se necesita$q(t)$y$p(t)$como entradas y salidas de un número.