¿Cuál es la definición de operador de paridad en la mecánica cuántica?

No, no podemos, ya que el único requisito

$$\mathscr{P}^{-1}\hat{\textbf{x}}\mathscr{P}=-\hat{\textbf{x}}$$ no fija el operador de paridad de forma única, incluso en el caso más simple. Es necesaria más información en forma de requisitos añadidos para fijar el operador de paridad.

La definición de operador de paridad en realidad depende del sistema que esté considerando. Consideremos la partícula de espín cero más simple en QM.

Su espacio de Hilbert es (isomorfo a)$L^2(\mathbb R^3)$.

Se supone que la paridad es una simetría, por lo que en vista del teorema de Wigner, es un operador$H: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)$que puede ser unitario o antiunitario.

Aquí, el operador de paridad está fijado por un par de requisitos naturales, el primero es solo el de la pregunta inicial, el último requisito adicional se refiere a los operadores de momento.

$$UX_kU^{-1} =-X_k\quad, k=1,2,3 \tag{1}$$ y $$UP_kU^{-1} =-P_k\quad, k=1,2,3 \tag{2}$$ Observe que (2) es independiente de (1), podríamos definir operadores que satisfagan (1) pero no (2).

En primer lugar, estos requisitos deciden el carácter unitario/antiunitario. En efecto, desde CCR,

$$[X_k,P_h] = i\delta_{hk}I\tag{3}$$ tenemos $$U[X_k,P_h] U^{-1} = \delta_{kh} Ui IU^{-1} = \pm i \delta_{kh}I$$
eso es $$[UX_kU^{-1}, UP_hU^{-1}]=\pm i \delta_{kh}I\:,$$ de modo que, de (1) y (2), $$[X_k,P_h] = \pm i \delta_{kh}I$$ Comparando con (3), esta identidad descarta el signo menos correspondiente a un operador antiunitario. $U$ debe ser unitario.

Probemos que (1)-(2) fijo$U$hasta una fase. No es posible definir$U$más precisamente porque esta fase arbitraria es justamente el grado de libertad permitido por el teorema de Wigner al definir las simetrías en términos de operadores unitarios o anti unitarios.

Supongamos que, para otro operador unitario$V$, también tenemos

$$VX_kV^{-1} =-X_k\quad, k=1,2,3 \tag{1'}$$ y $$VP_kV^{-1} =-P_k\quad, k=1,2,3 \tag{2'}\:.$$ Como consecuencia de (1) y (2), $$U^{-1}VX_kV^{-1}U =X_k\quad, k=1,2,3$$ y $$U^{-1}VP_kV^{-1}U = P_k\quad, k=1,2,3 \:.$$ En otras palabras, $L:= U^{-1}V$satisface $$L X_k = X_kL\:, \quad L P_k = P_kL\quad, k=1,2,3 \:.$$ Dado que el sistema de operadores $X_k$y $P_k$es irreductible en $L^2(\mathbb R^3)$, el lema de Schur implica que $$L= e^{i\gamma}I$$ por algunos reales fijos $\gamma$. A saber, $$V = e^{i\gamma}U\:.$$

Para concluir, es suficiente encontrar un operador unitario que satisfaga tanto (1) como (2). Por inspección directa se ve que

$$(U\psi)(x) = \psi(-x) \tag{4}$$ hace el trabajo. Todas las posibilidades restantes se incluyen en la fase arbitraria. $e^{i\gamma}$. La opción (4) tiene una bonita propiedad adicional compartida solo con la otra posibilidad $$(U\psi)(x) = -\psi(-x) \tag{4'}$$ En ambas situaciones (y sólo para estas elecciones de fase), $$UU=I\:.$$ Como ya sabemos que $U^{-1}=U^\dagger$, concluimos que $$U= U^{-1}= U^\dagger\:.$$ En otras palabras, dichas elecciones de la fase hacen $U$un observable , que juega un papel importante en la física de partículas (se puede conservar o no dependiendo del hamiltoniano).

Extendiendo la noción de partícula al incluir el espín, el espacio de Hilbert se amplía a$L^2(\mathbb R^3)\otimes {\mathbb C}^{2s+1}$, donde el segundo factor incluye una representación irreducible de$SU(2)$generado por los tres operadores de espín$S_k$,$k=1,2,3$. Se puede desarrollar un análisis similar al anterior agregando a (1) y (2) el requisito adicional

$$U S_kU^{-1} = S_k\:, \quad k =1,2,3,$$ junto con las relaciones de conmutación de espín $$[S_k,S_h]= i \sum_{p=1}^3\epsilon_{khp} S_p\:,$$ pero me detengo aquí.