Intuición sobre la construcción GNS y cómo se relaciona con la mecánica cuántica habitual

La idea básica de la construcción GNS es que usa un solo estado (a menudo, este será el vacío, si estamos trabajando en un espacio plano) para recrear todo el espacio de Hilbert. De hecho, esto está relacionado con la ciclicidad: el conjunto de todos los vectores generados por la acción del álgebra sobre el vacío es denso en el espacio de Hilbert resultante. Entonces, para generar el espacio de Hilbert completo, simplemente aplique cada miembro del$C^*$-álgebra para generar un subconjunto denso del espacio de Hilbert, luego complete Cauchy para generar el espacio de Hilbert completo.

Una forma sencilla de recuperar la representación habitual como un espacio de Hilbert es considerar el producto de tres miembros del álgebra, luego su representación$\pi$a medida que los operadores espaciales de Hilbert se convierten

Entonces puedes simplemente definir los estados$\vert \psi \rangle = \pi(C) \vert \omega \rangle$y$\vert \phi \rangle = \pi(A) \vert \omega \rangle$, entonces su estado se convierte en

Esto se convierte entonces en la transición habitual entre dos estados.

Un ejemplo simple de esto sería, por ejemplo, considerar los operadores de creación y aniquilación en el vacío. Ellos forman un$C^*$álgebra, y pueden actuar sobre el estado de vacío para crear cualquier número de estados que formarán un espacio de Hilbert. Por otro lado, ninguna cantidad de aplicación de operadores de creación en el vacío le dará el estado definido por el estado de Fock

Si hubiéramos usado este estado como base$\omega$, tendríamos una teoría unitariamente no equivalente.

En orden inverso:

1. La ciclicidad debe considerarse como una especie de condición de irreductibilidad. Obsérvese que todo vector de representación irreducible es cíclico, y que por tanto la existencia de un vector no cíclico indicaría reducibilidad. Por lo tanto, la ciclicidad tiene poca importancia más allá de la idea habitual de estudiar todas las representaciones irreducibles, ya que juntas contienen toda la información relevante sobre el álgebra. Un aspecto que puede valer la pena mencionar es que la ciclicidad exigente hace que la construcción del GNS sea única : puede haber muchos espacios en los que cualquier estado abstracto dado esté representado por un vector, pero todas las representaciones en las que es cíclico son unitariamente isomorfas.

2. La relación entre estados y vectores es la siguiente: En un sentido, de vectores a estados, tenemos que para toda representación$\rho : \mathcal{A}\to \mathrm{B}(H)$en un espacio de Hilbert$H$con operadores acotados$\mathrm{B}(H)$y cada vector$v\in H$, el mapa$\mathcal{A}\to\mathbb{C}, A\mapsto \langle v\vert \rho(A)\vert v\rangle$es un estado en sentido abstracto. Por el contrario, el punto de la construcción GNS es precisamente que para cada estado abstracto uno puede encontrar un espacio de Hilbert tal que el estado esté dado por un vector en ese espacio en ese sentido.

3. No veo nada intuitivo al respecto (y estoy un poco desconcertado sobre el tipo de intuición que esperas para los conceptos abstractos).$C^\ast$-álgebras), pero físicamente, la construcción GNS nos asegura que lo abstracto$C^\ast$-la perspectiva algebraica y el enfoque tradicional que parte de un álgebra de observables en un espacio de Hilbert son equivalentes: La suma directa sobre todas las representaciones GNS asociadas a estados (puros) del álgebra$\mathcal{A}$es fiel y una isometría, es decir, el álgebra abstracta es isométricamente isomorfa al álgebra de operadores acotados en ese espacio de Hilbert. Por lo tanto, no hay diferencia en los resultados si tomamos el punto de vista "abstracto" o "concreto". Este es el contenido del teorema de Gel'fand-Naimark .

Como físico, entiendo GNS de la siguiente manera.

version corta

Dados los observables, los valores esperados y las simetrías, podemos reconstruir el QM habitual con su espacio de Hilbert, su definición de valores esperados como "sándwiches" y su representación unitaria habitual de simetrías.

versión más formal

nos damos

• un álgebra$\mathcal{A}$estable bajo$A \mapsto A^*$: estos deben ser identificados con nuestros operadores;
• Una función$\omega$asociando un número complejo a cada elemento de esa álgebra: esos serán los valores esperados de los operadores;
• un grupo de simetría$G$actuando sobre ese álgebra tal que
  • cualquier simetría$s$satisface$s(AB)=s(A)s(B)$,
  • y se va$\omega$invariante:$\omega(s(A))=\omega(A)$.

Entonces GNS construye:

• un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$,
• un vector de vacío$\mid 0\rangle$,
• una representación$\phi$del algebra$\mathcal{A}$, es decir, un mapeo de$\mathcal{A}$sobre$\mathcal{H}$tal que$\phi(AB)=\phi(A)\phi(B)$, que además tiene la propiedad de que la expectativa de cualquier elemento$A \in \mathcal{A}$es la expectativa cuántica de$\phi(A)$: $$\omega(A) = \langle 0\mid\phi(A)\mid 0\rangle$$
• una representación unitaria del grupo de simetría que trae la simetría en el espacio de Hilbert, es decir, a cada$s \in G$se asocia un operador unitario$U_s$en el espacio de Hilbert, tal que $$\phi(s(A))=U_s\phi(A)U_s^*$$

ciclicidad del vacío

La versión corta es que al aplicar todas las representaciones del operador al vacío, obtenemos casi todos los elementos de$\mathcal{H}$. La versión rigurosa es que$\left\{ \phi(A) \mid\! 0 \rangle \mid A\in\mathcal{A} \right\}$es denso en$\mathcal{H}$.