¿Podemos definir correctamente el operador de cantidad de movimiento solo por medio del operador de posición y su relación de conmutación?

( Descargo de responsabilidad : el individuo con una inclinación más rigurosa puede ser más adecuado al observar el teorema de Stone-von Neumann , como señala Qmechanic)

Se puede deducir que el operador de cantidad de movimiento toma la forma$\hat p = -\mathrm{i}\hbar\partial_x$en la representación de posición por el hecho de que el operador de momento genera las traslaciones infinitesimales como$T(\epsilon) = \boldsymbol{1} - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon \hat p$solo:

Observa eso

$$T(\epsilon)\lvert \psi \rangle = \int \mathrm{d}x \lvert x \rangle \langle x \rvert T(\epsilon)\lvert \psi \rangle \tag{1}$$

Ahora,$\langle x \rvert T(\epsilon) \lvert \psi \rangle= \langle x - \epsilon\vert\psi\rangle = \psi(x - \epsilon)$. Una expansión de Taylor de esta función de onda produce

$$\psi(x - \epsilon) = \psi(x) - \epsilon(\partial_x\psi)(x) + \mathcal{O}(\epsilon^2) \tag{2}$$

Poner$(2)$en$(1)$olvídate de$\mathcal{O}(\epsilon^2)$y obten

$$(\boldsymbol{1} - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\epsilon\hat p)\lvert \psi \rangle = \int \mathrm{d}x \psi(x) \lvert x \rangle - \int\mathrm{d}x \lvert x \rangle\epsilon \partial_x \psi(x) \implies \hat p\ = \int\mathrm{d}x \lvert x \rangle (-\mathrm{i}\hbar\partial_x)\langle x \rvert$$

Por lo tanto,$\hat p = -\mathrm{i}\hbar\partial_x$en la base de la posición. Esto ya sugiere que esencialmente no tiene libertad para elegir el operador de impulso.

I) Comentario a la pregunta (v1):

La representación de la posición de Schrödinger

$$\hat{p}_k ~=~ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x^k}, \qquad \hat{x}^j ~=~x^j,$$

reproduce correctamente las relaciones canónicas de conmutación

$$[\hat{x}^j,\hat{p}_k ]~=~i\hbar ~\delta^j_k ~{\bf 1},$$

mientras que la propuesta

$$\hat{p}_k ~=~ \frac{\hbar}{i} \frac{1}{x^k}, \qquad \hat{x}^j ~=~x^j, \qquad\leftarrow \text{(Wrong!)}$$

simplemente viaja

$$[\hat{x}^j,\hat{p}_k ]~=~0.$$

II) Comentario a la pregunta (v2): parece que OP esencialmente pregunta:

¿Cuál es la expresión más general para la representación de posición del operador de cantidad de movimiento?

Esto se preguntó, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE. Véase también el teorema de Stone von Neumann .