¿Se puede reformular la ecuación de Dirac en una forma de tensor equivalente?

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¿Se puede reformular la ecuación de Dirac en una forma de tensor equivalente?

Física
espinores
ecuación de dirac
cálculo tensorial
ecuaciones de maxwell

usuario.3710634

1) ¿ Se puede representar la ecuación de Dirac (incluidos los bispinores ) mediante un formalismo tensorial?

2) En caso afirmativo, ¿qué tipo de tensores podrían ser los componentes de la función de onda en la ecuación de Dirac en tal formulación? y ¿cuáles son sus propiedades esenciales (notables)?

También se agradece mucho la introducción de cualquier libro (o documento) nuevo relevante que se refiera a esta pregunta.

Respuestas (2)

¿Se puede reformular la ecuación de Dirac en una forma de tensor equivalente?

usuario20250 · Answer 1

No estoy seguro de qué es exactamente lo que estás preguntando, así que cubriré todo lo que se me ocurra.

En primer lugar, aclaremos que estamos hablando de lo mismo. Los tensores son objetos que se transforman como tensores , es decir

T^{i j k \dots} (X) ⟶ R_{a b C \dots}^{i j k \dots} T^{a b C \dots} (X)

$T^{i j k \dots} (x) \longrightarrow R^{i j k \dots}_{a b c \dots} T^{a b c \dots} (x)$

$R$ es la transformación apropiada. Si estás hablando de tensores de Lorentz, entonces es la transformación de Lorentz $\mathbf{\Lambda}$ y, por ejemplo, un tensor con dos índices de Lorentz se transforma como

T^{m v} ⟶ Λ_{α}^{m} Λ_{β}^{v} T^{α β}

$T^{\mu \nu} \longrightarrow \Lambda^{\mu}_{\, \, \alpha} \Lambda^{\nu}_{\, \, \beta} T^{\alpha \beta}$

Si esto es lo que quiere decir, entonces la ecuación de Dirac (usando unidades naturales $c=\hbar=1$ ) es simple

(i \partial / - metro) Ψ = 0

$(i {\partial\!\!\!/} - m) \Psi = 0$

Aquí, $\Psi (x)$ es un bispinor y ${\partial\!\!\!/} \equiv \gamma^\mu \partial_\mu$ , dónde $\gamma^\mu$ significa matrices de Dirac.

Nótese que los 4-vectores de Lorentz (e índices) son elementos de un espacio vectorial considerado como el espacio de representación del $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ representación del grupo Lorentz.

Por otro lado, un bispinor (Dirac spinor) es un elemento de un espacio vectorial considerado como el espacio de representación del $(\frac{1}{2}, 0) ⊕ (0, \frac{1}{2})$ representación del grupo Lorentz.

Esto significa que los bispinores también se pueden escribir en una "forma de tensor", donde usamos letras latinas para denotar índices de espinores:

ψ^{a} ⟶ S_{b}^{a} ψ^{b}

$\psi^{a} \longrightarrow S^{a}_{\, \, b} \psi^{b}$

$S$ es la transformación de Lorentz apropiada para espinores.

Cuando se trabaja con las teorías de calibre de Yang-Mills, también se tienen los índices del álgebra de Lie que se transforman con las matrices de transformación apropiadas.

En pocas palabras, si se transforma como un tensor, puede aplicarle índices, si lo desea.

PD Mira esta notación para Weyl ( $(\frac{1}{2}, 0)$ o $(0, \frac{1}{2})$ ) espinores: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Van_der_Waerden_notation

Esta palabra, forma tensorial , me parece confusa. ¿No es la palabra tensor merecida solo para objetos que se comportan como un producto tensorial de vectores: $\Lambda^{\mu}_{\nu}\Lambda^{\lambda}_{\rho}...$ ? Las letras latinas son índices espinoriales , simple manifestación de que la representación es sobre un espacio lineal, es decir, las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales.
Es exactamente por eso que comencé con la definición apropiada de un tensor. Los espinores se transforman como tensores . Lo que quise decir con forma tensorial simplemente significa índices explícitos con una regla de transformación tensorial. Estoy seguro de que podría haberlo redactado mejor, pero no estoy seguro de cómo.
Quiero decir, podríamos entrar en la estructura de giros y los paquetes de giros, pero quería que fuera simple. Con suerte, no es demasiado confuso.
Hasta donde yo sé, del capítulo 5 del libro Weinberg QFT, no hay forma de representar lo que representa la ecuación de Dirac (spin $1/2$ partículas masivas) por tensor, es decir, productos tensorial de (n,n).
No en el sentido habitual, que también era el contexto de Weinberg. Eso es absolutamente correcto y lo reconozco :)

ajmeteli · Answer 2

Mis artículos pueden calificarse como "nuevos artículos que se refieren a esta pregunta": http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (Journal of Mathematical Physics, 52, 082303 (2011)) y https ://arxiv.org/abs/1502.02351 . Para una constante arbitraria (que no depende de un punto en el espacio-tiempo) vector propio $\xi$ de $\gamma^5$ Derivo una ecuación para un componente $\bar{\xi}\psi$ del bispinor de Dirac $\psi$ (entonces el componente es una función escalar). Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Dirac (consulte las advertencias).

¿Se puede reformular la ecuación de Dirac en una forma de tensor equivalente?

usuario.3710634

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