¿Cuál es la diferencia entre la cuantización de Einstein-Brillouin-Keller (EBK) y la cuantización de Bohr-Sommerfeld?

La regla de cuantificación EBK correcta es:

donde el segundo entero$\gamma_j$es el índice de Maslov (o índice de Keller-Maslov), un número topológico descubierto por Joseph B. Keller en 1958 (e independientemente por Victor P. Maslov). Este índice de Maslov estaba ausente de la antigua teoría de Bohr-Sommerfeld.

(Ejemplo: para el oscilador armónico unidimensional, se tiene:$\gamma = 2$, y la regla de cuantificación EBK produce el espectro cuántico exacto ; omitir el índice de Maslov daría un resultado incorrecto).

Previamente, Einstein había señalado (ya en 1917) que este tipo de regla de cuantización sólo podía aplicarse a sistemas integrables , cuyo espacio de fase poseía toros invariantes.

Lea, por ejemplo: A. Douglas Stone, La intuición desconocida de Einstein y el problema de cuantificar el caos , Physics Today 58 (8) (agosto de 2005), 37-43.

Supongo que te refieres a la cuantificación WKB$^{[1]}$. La regla de Sommerfeld precede a la aproximación WBK por casi una década.

La cuantificación de Sommerfeld era una regla heurística que parecía funcionar muy bien en ese momento, pero se sabía que tenía muchas limitaciones. Pronto fue reemplazada por la teoría de Schrödinger, que es mucho más completa.

Después de que se formuló la ecuación de Schrödinger, Wentzel, Kramers y Brillouin demostraron que la regla de Sommerfeld es en realidad solo un caso particular de un marco más amplio de técnicas de aproximación que se pueden aplicar a problemas de valores propios. En otras palabras, WKB generalizó la regla de Sommerfeld dentro del contexto de la ecuación de Schrödinger. Demostraron que el enfoque intuitivo de Sommerfeld estaba realmente contenido en la teoría de Schrödinger.

En pocas palabras: Sommerfeld desarrolló su regla antes de la ecuación de Schrödinger, y WKB demostró que esta última contiene a la primera como un subcaso. Además, extendieron el análisis a problemas más complejos. Esto significa que el método de Sommerfeld y el método WKB son (esencialmente) equivalentes, pero tienen un origen histórico muy diferente.

$^{[1]}$Parece que también se llama cuantificación EBK, por ejemplo, aquí . Hasta donde yo sé, el nombre estándar para el método es WKB, aunque no conozco los detalles históricos sobre quién fue el primero en desarrollar el método.