Cálculo de una densidad de estados de hamiltoniano H=xpH=xp H=xp

Question

Cálculo de una densidad de estados de hamiltoniano H=xpH=xp H=xp

Física
hamiltoniano
cuantización
semiclásico
Densidad de estados
mecánica cuántica

José Javier García

como podria calcular la integral

norte (mi) = \int d X \int d pag H (mi - X pag)

$N(E)~=~ \int dx \int dp~ H(E-xp)$

el 'Área' dentro del espacio Fase se toma como $x \ge 0$ y $p\ge 0$ ? El resultado debe ser

norte (mi) = \frac{mi}{2 π} registro \frac{mi}{2 π} - \frac{mi}{2 π},

$N(E)~=~ \frac{E}{2\pi}\log\frac{E}{2\pi}-\frac{E}{2\pi} ,$

pero no puedo obtenerlo incluso con cortes :( ¿Qué estoy haciendo mal para calcular esto? Aquí $H(x)$ es la función de Heaviside. Al menos necesitaría ayuda para deshacerme del término relacionado con la función de Heaviside $H(E-xp)$ del cuadrante donde ambos $x$ y $p$ son positivos.

Vijay Murthy

Básicamente estás preguntando por el área encerrada entre la hipérbola rectangular

x p = E

$xp=E$ y sus asíntotas (que resultan ser las

x

$x$ y

p

$p$ ejes). ¿Cuáles son los límites de

x

$x$ y

p

$p$ ?

valdo

No debería

H

$H$ ser hermitiano?

x p

$xp$ ¡no es!

José Javier García

H es hermitiano, recuerda que Weyl ordena que el operador cuántico lea

H = \frac{x p + p x}{2}

$H= \frac{xp+px}{2}$ y

x^{T} p^{T} = p x

$x^{T}p^{T}=px$

Respuestas (1)

Cálculo de una densidad de estados de hamiltoniano H=xpH=xp H=xp

Básicamente estás preguntando por el área encerrada entre la hipérbola rectangular $xp=E$ y sus asíntotas (que resultan ser las $x$ y $p$ ejes). ¿Cuáles son los límites de $x$ y $p$ ?
H es hermitiano, recuerda que Weyl ordena que el operador cuántico lea $H= \frac{xp+px}{2}$ y $x^{T}p^{T}=px$

qmecanico · Answer 1

Esta pregunta (v1) se discute cerca de la ec. (8) en la ref. 1.

La regularización más simple es truncar las variables $x\geq\ell_x$ y $p\geq\ell_p$ en los cortes $\ell_x$ y $\ell_p$ , respectivamente, de tal forma que el producto $\ell_x \ell_p = h$ es la constante de Planck.

en un $(x,p)$ diagrama, el área truncada debajo de la hipérbola $p=\frac{E}{x}$ lee en unidades de Planck

\begin{aligned} norte (mi) \approx & \int_{ℓ_{X}}^{\infty} \frac{d X}{h} \int_{ℓ_{pag}}^{\infty} d pag θ (mi - X pag) \\ = & \int_{ℓ_{X}}^{\frac{mi}{ℓ_{pag}}} \frac{d X}{h} (\frac{mi}{X} - ℓ_{pag}) \\ = & \frac{1}{h} {[mi en X - ℓ_{pag} X]}_{X = ℓ_{X}}^{X = \frac{mi}{ℓ_{pag}}} \\ = & \frac{mi}{h} (en \frac{mi}{h} - 1) + 1, \end{aligned}

$\begin{align} N(E) ~\approx~&\int_{\ell_x}^{\infty}\frac{dx}{h}\int_{\ell_p}^{\infty}dp~\theta(E-xp)\cr ~=~&\int_{\ell_x}^{\frac{E}{\ell_p}}\frac{dx}{h} \left(\frac{E}{x}-\ell_p\right) \cr ~=~&\frac{1}{h} \left[E\ln x-\ell_p x\right]_{x=\ell_x}^{x=\frac{E}{\ell_p}}\cr ~=~&\frac{E}{h}\left(\ln\frac{E}{h}-1\right)+1,\end{align}$

dónde $\theta$ es la función escalón de Heaviside.

Referencias:

MV Berry y JP Keating, H = xp y los ceros de Riemann. En JP Keating, DE Khmelnitski y IV Lerner, Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder (1999) 355–367. ( búsqueda de PDF )

Cálculo de una densidad de estados de hamiltoniano H=xpH=xp H=xp

José Javier García

Vijay Murthy

valdo

José Javier García

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qmecanico

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