¿Cuál es la conexión entre la relatividad especial y la general?

Supongamos que comenzamos considerando las transformaciones de Galileo , es decir, las transformaciones entre observadores que se mueven a diferentes velocidades donde las velocidades están muy por debajo de la velocidad de la luz. Diferentes observadores estarán en desacuerdo sobre las velocidades de los objetos, pero hay algunas cosas en las que estarán de acuerdo. En concreto, se pondrán de acuerdo sobre los tamaños de los objetos.

Supongamos que tengo una barra de metal que en mi sistema de coordenadas tiene un extremo en el punto$(0,0,0)$y el otro extremo en el punto$(dx,dy,dz)$. La longitud de esta varilla se puede calcular usando el teorema de Pitágoras:

Ahora es posible que te estés moviendo en relación conmigo, por lo que no estaremos de acuerdo en la posición y la velocidad de la barra, pero ambos estaremos de acuerdo en la longitud porque, bueno, es un trozo de metal, no cambia de tamaño. solo porque te estás moviendo en relación conmigo. Así que la longitud de la varilla,$ds$, es un invariante , es decir, es algo en lo que todos los observadores estarán de acuerdo.

OK, pasemos a la Relatividad Especial. Lo que hace la Relatividad Especial es tratar el espacio y el tiempo juntos, por lo que la distancia entre dos puntos también debe tener en cuenta la diferencia de tiempo entre los puntos. Entonces nuestra ecuación (1) se modifica para incluir el tiempo y se convierte en:

Tenga en cuenta que nuestra nueva ecuación para la longitud$ds$ahora incluye el tiempo, pero el tiempo tiene un signo menos. También multiplicamos el tiempo por una constante con las dimensiones de una velocidad para convertir el tiempo en una longitud. Al igual que antes de la cantidad$ds$es un invariante, es decir, todos los observadores están de acuerdo sin importar cómo se mueven entre sí. De hecho, le damos a esta longitud de espacio-tiempo un nombre especial: la llamamos la longitud adecuada (o, a veces, el tiempo adecuado ).

A estas alturas, probablemente te estés preguntando sobre qué diablos estoy divagando, pero resulta que podemos derivar todas las cosas raras de la relatividad especial simplemente del requisito de que$ds$ser un invariante. Si está interesado, analizo esto en ¿Cómo obtengo la contracción de Lorentz del intervalo invariante? .

De hecho, la ecuación de$ds$es tan importante en la Relatividad Especial que tiene su propio nombre. Se llama la métrica de Minkowski . Y podemos usar esta métrica de Minkowski para mostrar que la velocidad de la luz debe ser la misma para todos los observadores. Hago esto en mi respuesta al Segundo Postulado de la Relatividad Especial .

Así que tenemos que llegar a que el hecho de que la velocidad de la luz sea constante en SR es equivalente a la afirmación de que la métrica de Minkowski determina una cantidad invariante. Lo que hace la Relatividad General es generalizar la métrica de Minkowski, ecuación (2). Supongamos que reescribimos la ecuación (2) como:

donde estamos usando la notación$dt=dx^0$,$dx=dx^1$,$dy=dx^2$y$dz=dx^3$, y$g$es la matriz:

Esta matriz$g$se llama el tensor métrico . Específicamente, la matriz que he escrito anteriormente es el tensor métrico para el espacio-tiempo plano, es decir , el espacio-tiempo de Minkowski .

En la Relatividad General, esta matriz puede tener diferentes valores para sus entradas y, de hecho, esos elementos pueden ser funciones de posición en lugar de constantes. Por ejemplo, el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro estático sin carga tiene un tensor métrico llamado métrica de Schwarzschild :

(Menciono esto principalmente para la decoración: comprender cómo trabajar con la métrica de Schwarzschild necesita que hagas un curso sobre GR)

En GR la métrica$g$está relacionado con la distribución de la materia y la energía, y se obtiene resolviendo las ecuaciones de Einstein (que no es una tarea para los pusilánimes :-). La métrica de Minkowski es la solución que obtenemos cuando no hay materia ni energía presente.${}^1$.

El punto al que quiero llegar es que hay una secuencia simple que se usa desde la mecánica newtoniana cotidiana hasta la relatividad general. La primera ecuación que escribí, la ecuación (1), es decir, el teorema de Pitágoras, también es una métrica: es la métrica para el espacio 3D plano. Extendiéndolo al espacio-tiempo, ecuación (2), nos lleva a la Relatividad Especial, y extendiendo la ecuación (2) a una forma más general para el tensor métrico nos lleva a la relatividad general. Entonces, la Relatividad Especial es un subconjunto de la Relatividad General, y la mecánica newtoniana es un subconjunto de la Relatividad Especial.

Para terminar volvamos a esa cuestión de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es constante en SR, entonces, ¿es constante en GR? Y la respuesta es, bueno, más o menos. Analizo esto con cierto detalle en GR. El documento de 1911 de Einstein: Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz , pero puede que le resulte un poco difícil. Así que simplemente diré que en GR la velocidad de la luz siempre es localmente constante. Es decir, si mido la velocidad de la luz en mi ubicación siempre obtendré el resultado$c$. Y si mides la velocidad de la luz en tu ubicación también obtendrás el resultado$c$. Pero, si mido la velocidad de la luz en su ubicación, y viceversa, en general no obtendremos el resultado.$c$.

${}^1$en realidad, hay muchas soluciones cuando no hay materia ni energía. Estas son las soluciones de vacío . La métrica de Minkowski es la solución con la energía ADM más baja .

La relatividad especial es el "caso especial" de la relatividad general donde el espacio-tiempo es plano. La velocidad de la luz es esencial para ambos.

La mejor conexión entre las dos teorías se refiere a cómo tratan con diferentes observadores o marcos de referencia. La relatividad especial (SR) postula que todos los observadores inerciales son equivalentes, mientras que la relatividad general (GR) asume que una clase más amplia de observadores son equivalentes. Más precisamente, todos los marcos no giratorios son equivalentes. Por lo tanto, GR es más general que SR (también conocido como Relatividad Restringida) y, por lo tanto, no puede ser válido sin SR. En otras palabras, como teorías, GR implica SR pero lo contrario no es cierto.

Me gusta pensar en la relatividad especial como relatividad general de primer orden o "local".

Una de las cosas fundamentales que subyacen a toda la relatividad es el principio de equivalencia. Pero como que "desaparece" en la mecánica, los procedimientos y la teoría de la relatividad general. En realidad, está codificado en la "elección de materiales de construcción" para GR. Es decir, pensamos en el espacio-tiempo como una variedad en oposición a otros objetos matemáticos que podríamos postular que es (como una Variedad ; este es un ejemplo algo tonto, porque es "casi" una variedad, pero es simple y está destinado a mostrar que no es un trato hecho que debemoselija una variedad: hay una física real, en principio, medible afectada por la elección). Una variedad es un objeto matemático que es localmente euclidiano en todas partes o, en el caso de GR, Minkowski. Si nos "acercamos" a la variedad con un aumento lo suficientemente alto, podemos hacer que el espacio-tiempo se acerque tanto como queramos al espacio-tiempo de Minkowski. Más formalmente, lo que esto significa es que siempre podemos definir un espacio tangente a cada punto. Aquí está la clave de esta respuesta:

Siempre que no nos alejemos demasiado de este punto del espacio-tiempo y nos mantengamos dentro de un vecindario pequeño (puede que tenga que ser muy pequeño en un espacio muy curvo, pero esta es una posibilidad teórica y nuestra ampliación puede ser cualquier valor finito), todo Los cálculos relativistas se pueden hacer con la relatividad especial con el espacio tangente que se aproxima al espacio-tiempo en la vecindad.

Los marcos inerciales en el punto en cuestión son aquellos que se mueven momentáneamente con objetos y marcos que experimentan un movimiento geodésico, sin torsión en la variedad relativista general curva más general y todos estos son equivalentes módulo a transformación de Lorentz, al igual que en la relatividad especial. La curvatura es una noción de segundo orden, no definible en términos del espacio tangente a un solo punto. La concepción original de Einstein del principio de equivalencia era que, a primer orden, no hay diferencia entre los resultados experimentales llevados a cabo dentro de un laboratorio acelerado en relación con estos marcos inerciales definidos por el espacio tangente. Ya sea que sean acelerados por un cohete, o acelerados porque el laboratorio chocó contra la superficie de un planeta y, por lo tanto, se adhirió a ella, uno no puede decirlo a menos que mire fuera del laboratorio.

El punto esencial y constitutivo de la teoría general de la relatividad es, como lo expresó Einstein en su artículo sobre " Los fundamentos de la teoría general de la relatividad " (1916), que:

" Todas nuestras verificaciones espacio-temporales equivalen invariablemente a una determinación de coincidencias espacio-temporales {... tales como...} encuentros de dos o más {...} puntos materiales " .

La conexión entre la teoría especial y la teoría general de la relatividad es, en consecuencia, que todas las nociones de la teoría especial que se relacionan con el espacio-tiempo (incluidas las relaciones geométricas y cinemáticas entre puntos materiales) se definen explícitamente en términos de (determinaciones de) espacio -tiempo. coincidencia de tiempo ;
a saber, ante todo, las nociones que aparecen en los "postulados de la relatividad especial" (1905) :

• " sistemas de coordenadas en movimiento de traslación uniforme entre sí "
  (es decir, en la terminología moderna, libre de coordenadas, "marcos inerciales" ), y

• " velocidad " (junto con las nociones relacionadas "velocidad", "distancia" y "duración").

¿Puede la relatividad general ser válida sin la relatividad especial?

En el sentido anterior, SR es manifiestamente un caso especial de GR.

Se trata de la relación entre la masa y el espacio-tiempo y la gravedad[?]

Las definiciones de (cómo medir) "masa" y todas las cantidades dinámicas más o menos relacionadas (cantidad de movimiento, energía, momento angular, cargas, intensidades de campo...) se basan en (y, por lo tanto, subsiguientes a) el espacio-tiempo geométrico y cinemático. verificaciones.

Ya hay una buena respuesta de John Rennie . Así que estoy tratando de responder a la pregunta de una manera diferente, centrándome principalmente en la transición de los puntos de vista newtonianos a la relatividad general.

Comencemos con un ejemplo simple del sistema Tierra-Sol. Según Newton, la tierra quiere moverse inercialmente, es decir, uniformemente en línea recta. Una fuerza gravitatoria del sol lo desvía y hace que se mueva en una órbita elíptica alrededor del sol.

Sin embargo, según GR, la presencia del sol perturba (curva), el tejido del espacio y el tiempo. Entonces, la tierra simplemente se mueve inercialmente en este nuevo espacio-tiempo perturbado. Sigue una trayectoria de inercia, pero esa trayectoria ha sido distorsionada de modo que termina como una elipse en el espacio alrededor del sol, o más precisamente, una trayectoria helicoidal que serpentea alrededor de la línea del mundo del sol en el espacio-tiempo.

La Relatividad General es básicamente una unificación de las dos transiciones teóricas principales siguientes:

1. Transición del 'espacio' al 'espacio-tiempo': Las trayectorias de los cuerpos en movimiento inercial son líneas rectas en el espacio-tiempo en el sentido de que son curvas de mayor tiempo propio, es decir, geodésicas similares al tiempo. Eso los convierte en análogos de las líneas rectas de la geometría euclidiana, que también se llaman geodésicas, las curvas de distancia más corta.
2. Transición de la geometría 'plana' a la 'curva': En el contexto de la geometría espacial ordinaria, esta transición nos lleva de la geometría euclidiana a la geometría no euclidiana. En el contexto de las teorías del espacio-tiempo, la misma transición nos lleva de la geometría de un espacio-tiempo plano (espacio-tiempo de Minkowski de la relatividad especial) a la geometría del espacio-tiempo curvo (espacio-tiempo semi-riemanniano de la relatividad general). relatividad). La idea central de la teoría general de la relatividad de Einstein es que esta curvatura del espacio-tiempo es lo que tradicionalmente conocemos como gravitación.

Estas dos transiciones son las ideas centrales de GR, y las matemáticas necesarias para desarrollar la teoría son solo las matemáticas de la geometría curva, la única diferencia es que se transporta del espacio al espacio-tiempo.

La siguiente figura muestra las dos transiciones:

Se puede resumir de la siguiente manera:

La Relatividad General es una teoría de la gravedad y un conjunto de principios físicos y geométricos obtenidos de la gravedad newtoniana a través de una transición del concepto de 'espacio' a 'espacio-tiempo' y la transición de la geometría plana a la geometría curva, que conducen a un conjunto de ecuaciones de campo que determinan el campo gravitacional, y a las ecuaciones geodésicas que describen la propagación de la luz y el movimiento de las partículas en el fondo.