GRAMO. Artículo de Einstein de 1911: Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz

Hay mucha confusión sobre qué significa exactamente la velocidad de la luz en la relatividad general, así que creo que vale la pena examinar esto con cuidado. La cuestión resulta ser absolutamente fundamental para la relatividad general.

Relatividad especial

Comencemos con la relatividad especial. Aunque rara vez se presenta como tal, la relatividad especial es simplemente el límite plano del espacio-tiempo de la relatividad general, es decir, es la geometría del espacio-tiempo descrita por la métrica de Minkowski:

$$\mathrm ds^2 = -~c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{1}$$

donde estamos usando la coordenada de tiempo$t$y las coordenadas espaciales cartesianas$x$,$y$y$z$. El parámetro$c$es una constante, y por ahora no hagamos suposiciones al respecto, aunque veremos que resulta ser la velocidad de la luz.

La luz (y cualquier partícula sin masa) viaja en trayectorias nulas, es decir, aquellas trayectorias donde$\mathrm ds = 0$, y si sustituimos esto en la ecuación (1) obtenemos después de una pequeña reorganización:

$$c = \frac{\sqrt{ \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2}}{\mathrm dt}$$

Pero$\sqrt{ \mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2}$es simplemente la expresión de Pitágoras para la distancia total recorrida en el espacio - llamémosle a esto$\mathrm dr$- entonces obtenemos:

$$c = \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}$$

Y esta es solo la velocidad de la luz, así que:

el constante$c$es la velocidad de la luz

La métrica de Minkowski no cambia con ninguna transformación de Lorentz, por lo que todos los observadores relacionados por las transformaciones de Lorentz medirán la velocidad de la luz para tener el mismo valor constante.$c$. A esto nos referimos cuando decimos que en la relatividad especial la velocidad de la luz es constante.

Pero incluso en la relatividad especial las cosas no son tan simples como parecen inicialmente. La métrica (1) describe el espacio-tiempo para un observador inercial, y las transformaciones de Lorentz relacionan los marcos de los observadores inerciales. Sin embargo, es posible tener observadores acelerados, por ejemplo, observadores en un cohete acelerando con cierta aceleración.$a$, y para obtener la métrica de un observador acelerado, necesitamos usar una transformación de Rindler. Esto nos da la métrica de Rindler para una aceleración adecuada$a$:

$$\mathrm ds^2 = -~ \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)^2 c^2~\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{2}$$

Si usamos el mismo truco que antes para calcular la velocidad de la luz obtenemos:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right) \tag{3}$$

Y descubrimos que la velocidad de la luz no es constante sino que varía por un factor de$\left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)$dónde$x$es la distancia al observador. ¿Que esta pasando? Bueno, hay dos puntos clave para hacer

En primer lugar, esta es la misma luz que mide el observador que no acelera para tener la velocidad$c$, y la luz no ha cambiado. Lo que ha cambiado es que las coordenadas espaciales del observador que acelera son curvas debido a la aceleración. La diferente velocidad de la luz se debe a un cambio en las coordenadas, no a un cambio en la luz. Por esta razón, nos referimos a la velocidad que calculamos anteriormente como la velocidad coordinada de la luz, es decir, es la velocidad medida en las coordenadas que usa el observador. Cuando esas coordenadas son curvas, la velocidad generalmente será diferente de$c$.

En segundo lugar, aunque la velocidad de la luz puede variar en el marco acelerado, veamos qué sucede en la posición del observador, es decir, en$x = 0$. Cuando sustituimos$x=0$la ecuación (3) se simplifica a:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c$$

Y encontramos que la velocidad de la luz en la posición del observador es$c$, al igual que el observador que no acelera. Llamamos a esto la velocidad local de la luz porque se mide localmente, es decir, en la posición del observador.

Así que lo que hemos encontrado es:

1. La velocidad coordinada de la luz puede ser diferente de$c$

2. La velocidad local de la luz sigue siendo$c$

Relatividad general

Ahora vamos a la relatividad general. En relatividad general, describimos el espacio-tiempo como una variedad lorentziana, y resolver la ecuación de Einstein nos da la forma de esta variedad, es decir, la métrica. Para escribir la métrica necesitamos elegir un sistema de coordenadas, y en GR todos los sistemas de coordenadas son igualmente válidos y podemos elegir el sistema de coordenadas que queramos. Generalmente tratamos de elegir coordenadas que faciliten nuestros cálculos.

Para nuestros propósitos, el punto clave es que para una variedad lorentziana siempre hay una elección de coordenadas que hace que la geometría del espacio-tiempo sea localmente la métrica de Minkowski, es decir, siempre hay una elección de coordenadas que hace que el espacio-tiempo sea localmente plano. Estas coordenadas corresponden al sistema de reposo de un observador en caída libre, por lo que para un observador en caída libre es como si estuviera en reposo en un espacio-tiempo plano. Esto solo es cierto localmente, y a medida que nos alejamos del observador en caída libre, la curvatura del espacio-tiempo causará fuerzas de marea, sin embargo, en la posición del observador, las fuerzas de marea se vuelven cero.

Pero ya sabemos por la discusión anterior que en un espacio-tiempo de Minkowski la velocidad de la luz es la constante$c$, y eso significa que nuestro observador en caída libre siempre mide la velocidad local de la luz como la constante$c$.

Pero, ¿qué pasa con los observadores que no caen libremente? Voy a pasar por alto esto y solo decir que para cualquier observador que no esté cayendo libremente, el espacio-tiempo se ve localmente como un espacio-tiempo de Rindler. Y como discutimos anteriormente en un espacio-tiempo de Rindler, la velocidad local de la luz también es solo la constante$c$. Entonces, incluso un observador que acelera también mide la velocidad de la luz como la constante$c$.

Entonces, al igual que en la relatividad especial, terminamos con la conclusión:

La velocidad local de la luz es$c$

Y esto es lo que queremos decir cuando decimos que la velocidad de la luz es constante en la relatividad general.

Como descubrimos anteriormente para los observadores que aceleran en el espacio-tiempo plano, la velocidad coordinada de la luz puede no ser igual a$c$. Tomaremos el ejemplo bien usado de la métrica de Schwarzschild que describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro estático:

$$\mathrm ds^2 = -~\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2~\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{1 - r_s/r} + r^2~\left(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta~\mathrm d\phi^2\right)$$

Calculamos la velocidad de las coordenadas como antes. Supondremos que el rayo de luz se mueve en dirección radial de modo que$\mathrm d\theta = \mathrm d\phi = 0$, y como antes sustituyendo$\mathrm ds=0$nos da la velocidad coordenada:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1-\frac{r_s}{r}\right)$$

Y encontramos que la velocidad coordenada no es$c$. Sin embargo, las coordenadas de Schwarzschild son las coordenadas para un observador en el infinito, es decir, en$r=\infty$, por lo que obtenemos la velocidad local de la luz para este observador sustituyendo$r=\infty$Llegar:

$$\frac{dr}{dt} = c \left(1-\frac{r_s}{\infty}\right) = c$$

Entonces, una vez más, la velocidad local de la luz es$c$. No lo haré ya que el álgebra es un poco tedioso, pero es fácil demostrar que para cualquier observador en un espacio-tiempo de Schwarzschild, la velocidad local de la luz también es la constante$c$. Entonces, como antes, llegamos a la conclusión de que para todos los observadores en el espacio-tiempo de Schwarzschild, la velocidad local de la luz es$c$.

Y finalmente

Me he desviado mucho de su pregunta original, pero mi objetivo es señalar que la velocidad local de la luz permanece$c$incluso en GR. La velocidad coordinada de la luz puede no ser$c$, pero podemos elegir las coordenadas que queramos y, de hecho, diferentes observadores en general usarán diferentes coordenadas, por lo que no hay nada especial o único en la velocidad de las coordenadas.

Habiendo aclarado este punto, volvamos a su pregunta sobre el potencial gravitacional. Aparte de unos pocos casos especiales, es extremadamente difícil resolver la ecuación de Einstein para obtener la métrica. Sin embargo, si los campos gravitatorios son débiles, podemos usar una aproximación llamada límite de campo débil. En este caso la métrica es:

$$\mathrm ds^2 \approx -\left( 1 + \frac{2\Delta\phi}{c^2}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 + 2\Delta \phi/c^2}\left(\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\right)$$

dónde$\Delta \phi$es la diferencia en el potencial gravitatorio newtoniano desde la posición del observador. Y calculando la velocidad coordinada de la luz como antes nos da:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left( 1 + \frac{2\Delta \phi}{c^2}\right)$$

Para obtener la velocidad local de la luz notamos que en la posición del observador$\Delta\phi=0$entonces la velocidad local de la luz es:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c$$

¡Sorpresa sorpresa!

Hay una sutileza aquí. La impresión es que en 1911 Einstein confirmó la predicción de Newton (la velocidad de la luz que cae hacia la fuente de gravedad varía como la velocidad de los cuerpos que caen ordinarios), y en la versión final de la relatividad general la variación se duplicó. Esta es una impresión equivocada (Einstein no lo predijo), pero los einsteinianos la refuerzan de vez en cuando:

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9909014v1.pdf Steve Carlip: "Es bien sabido que la desviación de la luz es el doble de la predicha por la teoría newtoniana; en este sentido, al menos, la luz cae con el doble de aceleración de la materia ordinaria "lenta".

Lo que sí predice la relatividad general es que la velocidad de caída de la luz DISMINUYE (en el campo gravitatorio de la Tierra la aceleración de los fotones que caen es NEGATIVA, -2g):

Cita: "Contrariamente a la intuición, la velocidad de la luz (definida correctamente) disminuye a medida que se acerca al agujero negro".

Cita: "Einstein escribió este artículo en 1911 en alemán. (...) ... encontrará en la sección 3 de ese artículo la derivación de Einstein de la velocidad variable de la luz en un potencial gravitacional, ecuación (3). El resultado es : c'=c0(1+φ/c^2) donde φ es el potencial gravitacional en relación con el punto donde se mide la velocidad de la luz c0. En pocas palabras: la luz parece viajar más lentamente en campos gravitatorios más fuertes (cerca de una masa más grande) (...) Puede encontrar una derivación más sofisticada más tarde por Einstein (1955) de la teoría completa de la relatividad general en la aproximación de campo débil. (...) Es decir, la aproximación de 1955 muestra una variación en km/seg el doble de tanto como se predijo por primera vez en 1911".

Cita: "Específicamente, Einstein escribió en 1911 que la velocidad de la luz en un lugar con potencial gravitatorio φ sería c(1+φ/c^2), donde c es la velocidad nominal de la luz en ausencia de gravedad. En unidades geométricas definimos c = 1, por lo que la fórmula de Einstein de 1911 se puede escribir simplemente como c' = 1 + φ. Sin embargo, esta fórmula para la velocidad de la luz (sin mencionar todo este enfoque de la gravedad) resultó ser incorrecta, ya que Einstein se dio cuenta durante los años previos a 1915 y la finalización de la teoría general (...) ...tenemos c_r =1+2φ, que corresponde a la ecuación de Einstein de 1911, excepto que tenemos un factor de 2 en lugar de 1 en el término potencial".

Con respecto al artículo, ¿qué quiere decir Einstein cuando dice: "Si llamamos a la velocidad de la luz en el origen de las coordenadas$c_0$, entonces la velocidad de la luz$c$en una ubicación con el potencial de gravitación Φ estará dada por la relación:$c = c_0*(1+(Φ/(c^2))).$El principio de la constancia de la velocidad de la luz es válido según esta teoría en una forma diferente de la que suele subyacer a la teoría ordinaria de la relatividad.

Quiso decir exactamente lo que dijo. La velocidad de la luz varía con el potencial gravitatorio. Varía con la altitud, con la elevación. Lo dijo repetidamente, año tras año:

1912 : "Por otro lado, soy de la opinión de que el principio de la constancia de la velocidad de la luz puede mantenerse solo en la medida en que uno se restringe a regiones espacio-temporales de potencial gravitacional constante" .

1913 : "Llegué al resultado de que la velocidad de la luz no debe considerarse independiente del potencial gravitacional. Por lo tanto, el principio de la constancia de la velocidad de la luz es incompatible con la hipótesis de equivalencia".

1914 : “En el caso de que abandonemos el postulado de la constancia de la velocidad de la luz, no existen, a priori, sistemas de coordenadas privilegiados”.

1915 : "el autor de estas líneas es de la opinión de que la teoría de la relatividad aún necesita generalización, en el sentido de que debe abandonarse el principio de la constancia de la velocidad de la luz".

1916 : “En segundo lugar, nuestro resultado muestra que, según la teoría general de la relatividad, la ley de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, que constituye uno de los dos supuestos fundamentales en la teoría especial de la relatividad y a la cual ya nos hemos referido con frecuencia, no puede pretender ninguna validez ilimitada”.

1920 : “En segundo lugar, esta consecuencia muestra que la ley de la constancia de la velocidad de la luz ya no se cumple, según la teoría general de la relatividad, en espacios que tienen campos gravitatorios. Como muestra una simple consideración geométrica, la curvatura de los rayos de luz ocurre solo en espacios donde la velocidad de la luz es espacialmente variable”.

¿La velocidad de la luz es constante solo en un espacio donde el potencial de gravitación también es constante?

Sí. Tenga en cuenta que no fue solo Einstein quien dijo esto. Ver el retraso de Shapiro : "según la teoría general, la velocidad de una onda de luz depende de la fuerza del potencial gravitacional a lo largo de su camino" . Véase también ¿La velocidad de la luz es igual en todas partes? por el relativista Don Koks en el sitio web Baez/PhysicsFAQ: "En ese sentido, podríamos decir que la velocidad de la luz en el 'techo' en presencia de la gravedad es más alta que la velocidad de la luz en el 'piso'".Por supuesto, lo que es más importante que lo que dijo Einstein o cualquier otro, es la evidencia científica sólida. Si abres un reloj, no ves el tiempo fluyendo a través de él. En cambio, ves ruedas dentadas girando, o un péndulo balanceándose, o un cristal oscilando, o algo más moviéndose. Cuando esa cosa se mueve más lento, el reloj va más lento. Los relojes ópticos siguen el mismo principio, y van más lentos cuanto más bajos. Vea la entrevista de David Wineland : "si un reloj en un laboratorio es 30 centímetros más alto que el reloj en el otro laboratorio, podemos ver la diferencia en las velocidades a las que funcionan". Un reloj óptico no es un medidor de gas cósmico con el tiempo fluyendo a través de él. Va más lento cuando está más bajo porque la luz va más lento cuando está más bajo, no por ninguna otra razón.

Tenga en cuenta que hay personas que le dirán que la velocidad de la luz es absolutamente constante. Eso es un mito de la ciencia pop, me temo. Lamentablemente, a veces va acompañado de una gran cantidad de gestos matemáticos y abstracción con la intención de impresionar a los inocentes. También hay personas que te dirán que la velocidad local de la luz siempre es c. Esto es una tontería tautológica, me temo. Ver https://arxiv.org/abs/0705.4507donde Magueijo y Moffat se refieren a ella. Usamos el movimiento local de la luz para definir el segundo como la duración de 9.192.631.770 períodos de una radiación particular. Definimos el metro como la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299792458 de segundo. Cuando luego use el segundo y el metro para medir el movimiento local de la luz, "medirá" que la velocidad local de la luz es 299,792,458 m/s por definición . Repita todo este ejercicio en dos elevaciones diferentes, y medirá que el pulso de luz superior se mueve a 299 792 458 m/s, y también medirá que el pulso de luz inferior se mueve a 299 792 458 m/s:

Los dos pulsos de luz se mueven a diferentes velocidades porque los segundos en las dos elevaciones no son los mismos.